получим для них следующие выражения:

НА (p,q)- НА (1, q) = Cpq-ap-Cq + a = Cq(p-l)-а(р-1) = (р-\)(Cq - а), HA(p,q)-HA(0, q) = Cpq-ap=p(Cq-a).

В случае, если пара (/?, q) определяет точку равновесия, эти разности должны быть неотрицательными,

НА (p,q)- HA.(l,q) > О, НА (p,q)-НА (0,д) > 0.

Поэтому окончательно получаем

(p-l)(Cq-a)>0, /КСд-а)>0.

Из формул для функции Нв(р, q) при q = 1 и q = 0 имеем соответственно

Нв (р, 1) = (* - Ьп - Ь21 + Ь22 )р + (bl2 - Ъ22 )р + Ь2Х, HB(p,0) = (bl2-b22)p + b22.

С учетом обозначений разности

(А 0) (А 1), Я, (р, q)-HB(/>, 0) приводятся к виду

Я,(а 0-Я,(а 1) = <д-1)0*-Я,

совершенно также, как соответствующие разности для функции НА.

Если пара (р, д) определяет точку равновесия, то эти разности должны быть неотрицательными,

Нв(а 0)- Нв(/>, 1)> 0, HB(p9q)-HB(р, 0)>0.

Поэтому

(g-1) (Dp- 0)>О, g(/>p-j3)>0.

A = a °12

B=U t

\°2l Ь22

пара (p, q) определяла равновесную ситуацию, необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих неравенств

(/>-1)(С<7-а)>0,

p(Cq-a)>09 (<7-1)(Я/>-0)>О, (у)

q(Dp-p)>0,

0< р<1,

0<q<l,

-я21 +flf22,

*21 +*22>

а = а22- а,

*12>

0 = *:

22 Ai

Ситуация, оптимальная по Парето

Содержательные представления о выгодности и справедливости ситуации многообразны. Выше мы рассматривали их проявление через равновесие. Существует и иной вариант справедливости, в большей степени, чем равновесие, отражающий черты ее выгодности. Это оптимальность по Парето.

Поговорим об этом на примере биматричной игры с 2 х 2-матрица-ми А и В. Пусть НА (р, q) и Нв (р, q) - средние выигрыши игроков А и В.

Ситуация (p., q ) в биматричной игре

L*21

называется оптимальной по Парето, если из того, что

НА (p. ,q.)*HA (/>, q), HB(p.,q.)<HB (р, q) вытекают неравенства

Р=Р-, q = q-

Иными словами, в оптимальной по Парето ситуации игроки не могут совместными усилиями увеличить выигрыш одного из них, не Уменьшив при этом выигрыш другого.

Отличие ситуации равновесия от ситуации, оптимальной по Парето, состоит в следующем:

в ситуации равновесия ни один из игроков, действуя в одиночку, не может увеличить своего собственного выигрыша;

в ситуации, оптимальной по Парето, игроки, действуя совместно, не могут увеличить выигрыш каждого (даже нестрого).

5.2.4. Поиск равновесных ситуаций

Геометрический смысл условий (V) рассмотрим на примерах описанных выше биматричных игр.

Борьба за рынки

Напомним, что ситуация, сложившаяся в этой задаче, задается платежными матрицами следующего вида

Заменяя в неравенстве (V) величины С, a, D и fi их конкретными

0>-1)(-14<7-(-3)) > 0, fe-l)(9p-2) > 0, р(-Щ-(гЪ)) > 0, КП <?(9/>-2) > 0.

. Обратимся сначала к левой паре неравенств (/):

(/>-1) (-14*7 + 3) > 0, />(-14д + 3) > 0.

Возможны следующие три случая:

1°./>=1, 2°./> = 0, 3°.0</?<1.

Рассмотрим каждый из этих случаев подробно. Г. Полагая р = 1, получаем

значениями

10-2-1-1 = -14, а= -1-2= -3, 5+2+1 + 1= 9, р= 1 + 1= 2,

получаем

0>0, -

14д + 3>0.

Откуда