р = 1, о = 1, ЯД1) = 2, Я,(1,1) = 1, р = 0, о = 0, Я(0,0)=1, Ял(0,0) = 2,

Рис. 23

а одна смешанным,

2 1 (2 1\ 2 (2 1) 2

р-у я-у нл[уъ)-у яНззГ?

Признаться, полученные результаты ставят больше вопросов, чем дают ответов.

Ситуации (1, 1) и (0,0) соответствуют одновременному выбору игроками своих первых или, соответственно, вторых стратегий, то есть определенной договоренности о совместных действиях.

Однако в данном случае есть еще одна ситуация равновесия, состоящая в выборе игроками вполне определенных смешанных стратегий. В ней оба игрока получают

одинаковые выигрыши, правда, меньшие тех, которые дают две другие равновесные ситуации.

Какой же из этих трех ситуаций равновесия следует отдать предпочтение? Какую выбрать игрокам?

Если бы игроки договорились играть оба, скажем, первую чистую стратегию, причем игрок Л за получение большего выигрыша, чем игрок Я, заплатил бы ему 1/2, то выигрыш каждым полутора единиц можно было бы считать и выгодным, и справедливым. Однако в рамках теории бескоалиционных игр такого рода дележи не рассматриваются.

Ясно, что для выбора каждым из игроков своей линии поведения (напомним, что подобная ситуация может повторяться и повторяется многократно) необходимы либо расширение возможностей, имеющихся У игроков, либо иные, измененные критерии.

5.2.5. Некоторые итоги

Из приведенных примеров видно, что числа С и D могут быть как положительными, так и отрицательными. Они могут, в частности, даже обращаться в нуль.

Рассмотрим, однако, наиболее интересный в приложениях случай, когда ни С, ни D нулю не равны, то есть

CD*0.

Тогда, как нетрудно видеть, точка равновесия определяется парой

Р а

ршЪ- д=с-

Эти формулы являются весьма примечательными: в равновесной ситуации выбор игрока А полностью определяется элементами платежной матрицы игрока Д

bn-b2l +b22

и не зависит от элементов его собственной платежной матрицы, а выбор игрока В в равновесной ситуации полностью определяется элементами платежной матрицы игрока А,

22 - 12

И - 12 - 21 + 22

и также не зависит от элементов его собственной платежной матрицы.

Иными словами, равновесная ситуация для каждого из игроков определяется не столько стремлением увеличить собственный выигрыш, сколько желанием держать под контролем выигрыш другого игрока (минимизировать этот выигрыш). И если, например, заменить в биматричной игре игроку А матрицу выплат, а игроку В матрицу выплат оставить прежней, то игрок А никак не изменит своего равновесного поведения (просто не обратит внимания на эту замену), в то время как игрок В изменит свою стратегию на новую.

Таким образом, в биматричной (неантагонистической) игре мы вновь встречаемся с антагонизмом. Правда, теперь это уже не антагонизм интересов (как это было в антагонистической, матричной игре), а антагонизм поведения.

Отметим далее, что в биматричных играх (в отличие от матричных) при наличии нескольких ситуаций равновесия средний выигрыш игрока в разных равновесных ситуациях различен (напомним, что в матричной игре выигрыш игрока один и тот же вне зависимости от количества точек равновесия). Но если средние выигрыши разнятся, то какую равновесную ситуацию следует считать оптимальной?

Наконец, еще одно, не менее интересное обстоятельство, относящееся к случаю, когда множество ситуаций равновесия конечно и состоит из нечетного числа точек (одной или трех). Если слегка пошевелить элементы платежной матрицы, то слегка пошевелятся и зигзаги, не из-

меняя ни своей общей формы, ни взаимного расположения, а, значит, число равновесных ситуаций не изменится. В подобных случаях принято говорить, что это число устойчиво относительно малых шевелений.

5.3. Позиционные игры

Во многих практически важных конфликтных ситуациях, располагая той или иной информацией об их прошлом развитии, стороны-участницы совершают свой выбор не раз и навсегда, а последовательно во времени, шаг за шагом. Тем самым, они используют стратегии, отражающие как динамику конфликта, так и степень собственной осведомленности о фактически складывающейся обстановке в развитии этого конфликта.

5.3.1. Структура позиционной игры

Одним из классов игр, описывающих конфликты, динамика которых оказывает влияние на поведение участников, являются так называемые позиционные игры.

Позиционная игра - это бескоалиционная игра, моделирующая процессы последовательного принятия решений игроками в условиях меняющейся во времени и, вообще говоря, неполной информации.

Процесс самой игры состоит в последовательном переходе от одного состояния игры к другому состоянию, который осуществляется либо путем выбора игроками одного из возможных действий в соответствии с правилами игры, либо случайным образом (случайный ход).

В качестве примеров позиционных игр можно привести крестики-нолики, шашки, шахматы, карточные игры, домино и др. Интересно, что право выбора первого хода в этих играх часто определяется случайным образом.

Состояния игры принято называть позициями (отсюда и название - позиционные игры), а возможные выборы в каждой позиции - альтернативами.

Характерной особенностью позиционной игры является возможность представления множества позиций в виде древовидного упорядоченного множества, которое называется деревом игры (рис. 24).

Мы будем рассматривать позиционные игры, которые разыгрывают между собой два игрока и в каждой позиции которых, кроме окончательных, ровно две альтернативы - первая и вторая.

Замечание. Символ О, А или В в кружке указывает, кто из игроков - О, А или В - делает очередной ход. При этом символом О обычно обозначается ход в игре, осуществляемый не игроком, а каким-нибудь