Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [ 65 ] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92

hi -2 1 Г 4 4-4-4 3-3 3-3 0 5 0 5, Пример 6.

1-й ход делает игрок А: он выбирает число х из множества двух чисел {1,2}.

2-й ход делает игрок R не зная о выборе игрока А на 1-м ходе, он выбирает число у из множества двух чисел {1, 2}.

3-й ход делает игрок А: он выбирает число z из множества двух чисел {1, 2}, не зная ни значения х, ни значения у.

После этого игроки расплачиваются по правилу (#). Графическое представление этой игры показано на рис. 30.

Ясно, что у игрока А те же четыре стратегии, что и в примере 5:

Ах - [1,1], А2 - [1,2], А, - [2, 1], А, - [2, 2].

У игрока В всего две стратегии: Вх - выбрать у = 1, В2 - выбрать у = 2.

В этом случае (весьма слабой информированности игроков) таблица выигрышей игрока А и соответствующая матрица строятся совсем просто. Имеем


у =2

(1,1)

т, 1,1)

Щ1,2,1)

0,2)

W, 1, 2)

2, 2)

(2,1)

Щ2,1, 1)

2,2,1)

(2,2)

Щ2,1, 2)

Щ2, 2, 2)

(-2 4

-4 -3 5

Оптимальные смешанные стратегии игроков и значение игры равны

-М -и



В следующем примере информационные множества выглядят немного иначе. Пример 7.

1-й ход делает игрок А: он выбирает число х из множества двух чисел {1, 2}.

2-й ход делает игрок В. не зная о выборе игрока А на 1-м ходе, он выбирает число у из множества двух чисел {1, 2}.

3-й ход делает игрок А: он выбирает число z из множества двух чисел {1, 2}, зная выбор у игрока В на 2-м ходе, но не помня собственного выбора х на 1-м ходе.

После этого игроки расплачиваются по правилу (#).

Графическое представление этой игры показано на рис. 31.

Поскольку игроку В неизвестен выбор игрока А на 1-м ходе, то, выполняя свой ход, он не знает, в какой именно из двух возможных позиций находится. Поэтому у игрока В всего две стратегии:

Вх - выбрать у = 1, В2 - выбрать у = 2.

При описании стратегий игрока А нужно исходить из того, что к 3-му ходу игрок А утратил сведения о собственном выборе на 1-м Рис. 31 ходе, но ему известен выбор игрока

В на 2-м ходе. Поэтому выбор числа z игроку А следует связать с известным ему к 3-му ходу значением у. Удобнее всего это сделать подобно тому, как были рассчитаны стратегии игрока В в примерах 3 и 5, то есть при помощи упорядоченной пары

[Zu z2l

Здесь Z\ (Z\ = 1, 2) - альтернатива, выбираемая игроком А при условии, что игрок В выбрал первую альтернативу, у = 1, a z2 (Zi = 1, 2) - альтернатива, выбираемая игроком А при условии, что игрок В выбрал вторую альтернативу, у = 2.

Чистую стратегию игрока А в данной игре можно записать так:


(х, [Zi, z2]).



Здесь х(х = 1,2) - альтернатива, которую игрок Л выбирает на 1-м ходе, Z\ (z\ = 1, 2) - альтернатива, которую игрок Л выбирает на 3-м ходе, если на 2-м ходе игрок В выбрал первую альтернативу {у = 1) и zi (zi = 1, 2) - альтернатива, которую игрок А выбирает на 3-м ходе, если на 2-м ходе игрок В выбрал вторую альтернативу (у = 2).

Например, выбор игроком А стратегии (2, [2,1]) означает, что на 1-м ходе игрок А выбирает х = 2, а на 3-м z = 2, если игрок 5 выбрал у = 1, и z = 1, если игрок В выбрал у = 2.

Тем самым, у игрока Л восемь чистых стратегий:

Ах - (1, [1, 1]), А2 - (1, [1, 2]), А3 - (1, [2, 1]), Л - (1, [2, 2]),

Л5 - (2, [1, 1]), Л - (2, [1, 2]), Л7 - (2, [2, 1]), Л8 - (2, [2, 2]).

Покажем теперь, как определяются элементы таблицы выигрышей игрока А.

Пусть, например, игрок А выбрал стратегию А3 - (1, [2, 1]), а игрок В - стратегию Вг - (2). Тогда х = 1, у = 2, а из [2, 1] вытекает, что г = 1. Отсюда

W{x,y,z)=W{\,2, 1)=1.

По этой же схеме вычисляются и остальные элементы таблицы. В результате получаем

щи 1.1)

Щ1, 2,1)

(1. IL 2])

т, 1,1)

Щ1, 2, 2)

(1, [2, 1])

Щ1,\,2)

Щ1, 2,1)

(1, [2, 2])

№(1,1,2)

Щ1 2, 2)

(2, [1, 1])

2,1,1)

Щ2, 2,1)

(2, [1, 2])

Щ2,1,1)

2, 2,2)

(2, [2, 1])

Щ2,1, 2)

Щ2, 2,1)

(2, [2, 2])

2,1, 2)

W2, 2, 2)

Оптимальные смешанные стратегии игроков и значение игры равны

р={о,о о,о о,о

4 1

, Q =

v =

соответственно.

Рассмотрим позиционную игру со случайным ходом.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [ 65 ] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92