Пример 8.

7-й ход производится случайно: игрок О выбирает число х, равное 1, с вероятностью 0,5 и равное 2 с такой же вероятностью.

2-й ход делает игрок А: он выбирает число у из множества двух чисел {1,2}, не зная результатов случайного выбора на 1-м ходе.

3-й ход делает игрок В: он выбирает число z из множества двух чисел {1,2}, зная о том, какое именно число х случайно выбрано игроком О на 1-м ходе и не зная выбора у игрока А на 2-м ходе.

После этого игроки расплачиваются, используя функцию (#). Графическое представление этой игры показано на рис. 32.

Опишем стратегии игроков. Поскольку игроку А исход случайного испытания неизвестен, то он имеет всего две стратегии:

4-<1), А2 - (2).

При построении своих стратегий игроку В естественно воспользоваться имеющейся у него информацией о результатах 1-го хода. Это позволяет ему описать свою стратегию упорядоченной парой Рис. 32

hi, til

Здесь Z\ (Z\ = 1, 2) - альтернатива, выбираемая игроком В при условии, что х = 1, a Zi (Zi= 1, 2) - альтернатива, выбираемая игроком В при условии, что х = 2.

Тем самым, у игрока В четыре стратегии:

Вг - [1, 1], В2 - [1, 2], В3 - [2, 1], В4 - [2, 2].

Покажем теперь, как определяются элементы таблицы выигрышей игрока А.

Пусть, например, игрок Л выбрал стратегию А\, (1), а игрок В-- стратегию В3, [2, 1].

Различаются два случая

1) х= 1, 2) х = 2.

Если х = 1, то стратегия В3 указывает игроку В его выбор z = 2, а так как у = 1, то в результате имеем

W(x,y,z) = ИЧ1.1, 2) = 4.

Если х = 2, то стратегия 2?3 указывает игроку В его выбор z = 1, а так как у = 1, то в результате имеем

W(x,y,z) = W(2,l,l) = 3.

Поскольку первая и вторая альтернативы на 1-м ходе выбираются с вероятностями 0,5 и 0,5, то и вышеуказанные выигрыши появляются с теми же вероятностями и, следовательно, средний выигрыш (математическое ожидание выигрыша) игрока А определяется так:

4 0,5 + 3 0,5 = 3,5.

Аналогичным образом рассчитывая остальные средние выигрыши, получим при х = 1

-2 -2 4 4\ 1 1 -4 -4/

при х = 2

3 0 3 0

В итоге искомая матрица игры имеет вид

0,5 -1 3,5 2\ -1 3 -3,5 0,5/

Пример 9.

1-й ход делает игрок О, выбирая число х, равное 1, с вероятностью 2/3 и, равное 2, с вероятностью 1/3.

Если х = 1, то на 2-м ходе игрок А выбирает число у из множества двух чисел {1,2}, зная результат случайного выбора на 1-м ходе, а на 3-м ходе игрок В выбирает число z из множества двух чисел {1,2}, зная х, но не зная у.

Если х = 2, то на 2-м ходе игрок В выбирает число у из множества двух чисел {1, 2}, зная результат случайного выбора на 1-м ходе, а на 3-м ходе игрок А выбирает число z из множества двух чисел {1,2}, зная х, но не зная у.

После этого игроки расплачиваются, используя функцию (#). Графическое представление этой игры показано на рисунке 33.

Чистую стратегию игрока А в данной игре можно описать упорядоченной парой

\y,z\,

где у (у = 1, 2) - выбор игрока А на 2-м ходе, если на 1-м ходе выбрано х = 1, a z (z = 1, 2) - выбор игрока А на 3-м ходе, если на 1-м ходе выбрано х = 2.

Например, стратегия 1, 2 означает, что на 2-м ходе игрок А выбирает у = 1, а на 3-м ходе - z = 2.

Тем самым, у игрока А четыре стратегии:

А\ - 1, 1, А2 - 1, 2, А3 - 2, 1, Л - 12, 2. У игрока 5 те же четыре стратегии:

Д- 1,1, Д- 1,2, 2?3- 2,1, Д- 2,2.

Покажем теперь, как найти элементы матрицы выигрышей игрока А Пусть, например, игрок А применяет стратегию 42 - 1, 2, а игрок В - стратегию В3 - 2,1.

Различаются два случая:

1) х= 1, 2) х=2.

По условию при х = 1 игрок Л имеет возможность сделать только 2-й ход (выбрать у), а игрок В - только 3-й (выбрать г). При х = 2 их возможно-