сти меняются местами: игроку В предоставлено право 2-го хода (выбор у), а игроку А - 3-го (выбор г).

Если* = 1, то стратегия А2 указывает игроку А при 2-м ходе взять у = 1, а стратегия В3 указывает игроку В при 3-м ходе взять z = 1. В результате

W(x,y9z) = Щ19 1, 1) = -2.

Если х = 2, то стратегия В3, указывает игроку В при 2-м ходе взять у = 2, а стратегия 42 указывает игроку Л при 3-м ходе взять z = 2. В результате

= Ж(2,2,2) = 5.

Поскольку первая и вторая альтернативы на 1-м ходе выбираются соответственно с вероятностями 2/3 и 1/3, то и найденные выигрыши появляются с теми же вероятностями. Поэтому математическое ожидание выигрыша игрока А рассчитывается так:

Итак, при х = 1

при х = 2

3 3 -3 -3

0 0 5 5

3 3-3-3

,0 0 5 5У

Отсюда получаем искомую матрицу игры

Замечание. Графическое представление и функция выигрышей полностью определяют позиционную игру. В рассмотренных выше примерах 6-9 мы пользовались одной и той же функцией и одним и тем же деревом. Различие было только в маркировке вершин дерева и в информационных множествах. При построении последних необходимо соблюдать два правила:

1) в одно информационное множество могут входить позиции только одного игрока,

2) последовательность звеньев, определяющая партию игры, может иметь с информационным множеством не более одной общей позиции.

Как показывает рисунок 34, и при таких ограничениях информационные множества могут выглядеть довольно необычно.

5.3.3. Позиционные игры с полной информацией

Позиционная игра называется игрой с полной информацией, если в каждой позиции любой ее партии игрок, делающий ход, знает, какие альтернативы были выбраны на предыдущих ходах. В графическом описании каждая вершина дерева такой игры представляет собой отдельное информационное множество.

Примерами позиционных игр с полной информацией могут служить шашки и шахматы.

Основная особенность позиционной игры с полной информацией состоит в том, что соответствующая ей матрица выигрышей всегда имеет седловую точку, то есть в игре с полной информацией всегда существуют оптимальные чистые стратегии и, значит, равновесная ситуация.

Сказанное означает, что в шахматах и шашках уже в начальной позиции либо имеется способ выигрыша за белых, либо способ выигрыша за черных, либо как та, так и другая сторона способна форсировать ничью.

Однако известное доказательство существования равновесной ситуации неконструктивно и не дает эффективных приемов фактического отыскания решения игры. И такие способы (стратегии) в шахматах не найдены до сих пор, и даже неизвестно, какая из перечисленных возможностей имеет место на самЬм деле.

Иное дело с игрой крестики-нолики: стратегий в ней немного и она разобрана до самого конца - существуют оптимальные чистые стратегии, ведущие игроков к ничьей.

Рассмотрим несколько, примеров.

1. Как нетрудно заметить, двухходовая игра из примера 1 является игрой с полной информацией. Ее нормализация приводит к матрице с седловой точкой (см. пример 3).

2. Выкладывание монет на стол. Два игрока поочередно кладут монеты одинаковых размеров на обыкновенный стол, всякий раз выбирая произвольное доступное место для монеты (взаимное накрывание монет не допускается). Тот из игроков, кто положит монету, не оставляющую места для новых монет, выигрывает.

Это игра с полной информацией, и существует вполне определенная стратегия, обеспечивающая выигрыш тому из игроков, кто начинает игру: начинающий игру должен положить первую монету точно в центр стола и на каждый Рис. 35 ход противника отвечать

симметричным (относительно центра стола) ходом (рис. 35). Исход игры от стратегии второго игрока не зависит.

3. Переговоры. В переговорах участвуют две стороны А и В. В слегка идеализированном варианте это может выглядеть, например, так.

Сначала сторона А высказывает одно из нескольких предложений, способных заинтересовать сторону В. Затем сторона В9 ознакомившись с предложением стороны А, высказывает одно из нескольких встречных