2Х=У1> Zn)=v(§), ykv(gk), k = l9 п.

Замечание. Дележ уи ...,ys задает распределение выигрыша v(§), удовлетворяющее условию индивидуальной разумности,

У*2* v(£*)> Л = 1> > п>

которая означает, что, участвуя в коалиции, каждый игрок получает не меньше того, что он мог бы получить, действуя самостоятельно и не заботясь о поддержке других игроков.

Пусть х и у - два разных дележа в заданной игре, и игроки должны выбрать какой-то один из них. Существует ли критерий, пользуясь которым можно было бы сделать такой выбор?

Вследствие условия

ясно, что все игроки не могут предпочесть дележ х дележу у (и наоборот, дележ у дележу х): часть игроков предпочтет тот дележ (х), при котором их выигрыши больше, в то время как другая часть игроков предпочтет дележ у (при котором больше выигрыши уже этих игроков).

Определение. Будем говорить, что дележ х доминирует дележ у по коалиции Q, если выполнены следующие условия:

*/ >У,

для всех gjGQ и

5>< * v<2).

Первое из условий означает, что все члены коалиции Q предпочитают дележ х дележу у, а второе, что коалиция Q на самом деле может предложить каждому из игроков gt Е Q выигрыш X/.

Обозначение: х yQ у.

То, что х yQ у, никак не исключает существования коалиции Я, по

которой у ур х.

Тем не менее, полезно следующее определение.

Определение. Будем говорить, что дележ х доминирует дележ у, если существует коалиция Q, для которой х yQ у.

Обозначение: хуу.

Предположим, что игроки пришли к такому соглашению о распределении выигрыша (дележу), при котором ни один из других дележей его не доминирует. Такое распределение устойчиво в следующем смысле: ни одной из коалиций Я не выгодно отделяться от других игроков и распределять между членами коалиции выигрыш v(P). Это обстоятельство наводит на мысль о целесообразности рассмотрения множества недоминируемых дележей.

Определение. Множество всех недоминируемых дележей называется ядром игры.

Справедливо следующее утверждение.

ТЕОРЕМА. Ядро игры есть множество всех дележей у = (уи уп), для которых неравенства

выполнены для всех РС§.

Замечание. Дележ у, принадлежащий ядру игры, удовлетворяет условию групповой разумности: выигрыш v(P) любой коалиции не превосходит ее доли по дележу у.

Доказательство. Предположим, что дележ у удовлетворяет условию теоремы и для некоторого дележа х можно указать коалицию Я, для всех игроков которой выполняются неравенства xt >угВ сочетании с условием теоремы это приводит к неравенству

которое означает, что дележ х не может доминировать дележ у по коалиции Я. Тем самым, дележ у принадлежит ядру игры.

Покажем теперь, что дележ, не удовлетворяющий условию теоремы, ядру игры не принадлежит.

Из того, что дележ х не удовлетворяет условию теоремы, вытекает существование коалиции g, для которой выполнено неравенство

2*, < v<®>

или, что то же,

<v(©-e,

где е > О - некоторое число.

Положим

ii§\Q

Из условия (-А-) следует, что а > 0.

Пусть g - число игроков в коалиции g. Построим набор г = (Zu Zn) по следующему правилу:

{xt+e/g, gt Eg,

Zi [vig + a/in-g), gi$Q.

Нетрудно проверить, что набор z является дележом и что z у$ х. А это означает, что ядру игры дележ х не принадлежит.

Вернемся к игре джаз-оркестр и попробуем найти ее ядро. Согласно теореме принадлежность дележа у = (уь у2, Уз) ядру игры равносильна одновременному выполнению следующих соотношений:

Л £ 200, у2> 300, у3>09 (*)

у{+у2>Ж, у2 + у3> 650, ух+у3> 500, (**)

й+й + й = 100°- (***)

Заметим, что из условий (**) и (***) легко следуют неравенства

ух < 350, у2 < 500, у3 < 200,

которые вместе с соотношениями (*) задают прямоугольный параллелепипед

200 <ух< 350, 300 <у2< 500, 0 < у3 < 200

(рис. 39). Плоскость у{ + у2 + у3 = 1000 пересекает его по треугольнику АБС, координаты вершин которого равны

Л(350, 450, 200), 5(350, 500, 150), С(300, 500, 200)

соответственно (рис. 40). ААВСп есть ядро данной игры. Как видим, оно содержит более одной точки, что не является существенным препятствием и попросту означает, что устойчивых дележей несколько.

В данном случае выигрыши каждого из игроков определяются с точностью до 50$. Типичным дележом является центр этого треугольника (среднее арифметическое координат его вершин), а именно,