в третий класс попадут граничные точки, у перемещение которых по множеству дЯ уменьшает одну из координат при одновременном увеличении другой (дуга BD границы

ая .

Множество точек третьего класса принято

называть границей (множеством) Парето дан-

ного множества Я (выделено на рис. 4).

На рис. 5 указаны границы Парето неко- Рис. 4

торых простейших множеств.

Рис. 5

Однако вернемся к даме, выбирающей шляпку, и попробуем придать ее размышлениям геометрическую наглядность.

По степени элегантности шляпки можно разделить, например, так - элегантные (Э), очень элегантные (ОЭ), не очень элегантные (НОЭ), сверхэлегантные (СЭ) и совсем не элегантные (СНЭ) (см. вертикальную ось на рис. 6а). По горизонтальной оси будем откладывать величину суммы, которая останется в кошельке у дамы после возможной покупки той или иной шляпки, - чем дешевле шляпка, тем большей будет оставшаяся сумма. Тогда с каждой шляпкой, на которую обратила свое внимание дама, можно сопоставить точку на координатной плоскости. Выделение границы Парето отбросит неинтересные варианты и, конечно, облегчит окончательный выбор (см. рис. 66). Но каким он будет?

оэ э

ноэ снэ

оэ э

ноэ снэ

Рис. 6а

Рис. бб

Рис. 7а

Мой кошелек. Мои глаза.

Их вечный грустный поединок.

Укажем простое геометрическое правило, посредством которого можно выделять из заданного плоского множества его границу Парето.

Рассмотрим пробный прямой угол, стороны которого сонаправлены координатным осям U и V (рис. 7а). Положение этого пробного угла на плоскости однозначно определяется его вершиной Q. Перемещая пробный угол (параллельно самому себе), мы будем собирать только те точки заданного множества Я, которые можно совместить с точкой Q так, чтобы ни одна другая точка множества Я не попадала ни внутрь этого угла, ни на одну из его сторон (рис. 76). Совокупность всех таких точек и будет искомой границей Парето для множества Я. Замечание. Границу Парето множества Я в пространстве R можно определить как совокупность точек

Щ, ..,)GR ,

обладающих следующим свойством: из серии неравенств

и условия

(К K )GR неизбежно вытекает, что

U, = Vu

Рис. 76

6.2. Метод уступок

Пусть на плоскости (х, у) задано множество w (рис. 8а) и в каждой точке этого множества определены две непрерывные функции

U = Ф(х, у) и V = Щх, у).

Рассмотрим следующую задачу.

Во множестве со найти точку (х*, у*), в кото-

Ф(х\у) = max и 4f(x\у) = max. Обычно это записывается так

Рис. 8а

Ф(х,}>) -> max и ЧЧх,}>)-> max, (х,>>) Е со.

Сразу же отметим, что поставленная задача в общем случае решения не имеет.

В самом деле, нарисуем на плоскости (U, V) множество всех точек, координаты которых вычисляются по формулам

х) (точка уто-

и = Ф(х,у), V = 4>(x,y), (х,у)Е(о.

Из рис. 86 видно, что точка с координатами (Фтах, Чтах/ пии) лежит вне множества Q.

Это означает, что наибольшее значение функции U и наибольшее значение функции К достигаются в разных точках. Тем самым, удовлетворить обоим требованиями одновременно невозможно.

Метод (последовательных) уступок является одним из наиболее простых методов решения задачи с двумя критериями. Этот метод состоит в том, что лицо, принимающее решения (ЛПР), работая в режиме диалога с аналитиком-специалистом, последовательно сужает

множество точек на границе Парето и в конце концов соглашается остановиться на некоторой компромиссной паре значений критериев.

На рисунке 9 показано, как последовательно, шаг за шагом, всматриваясь в границу Парето, лицо, принимающее решения (руководитель), выходит на компромиссное решение, постепенно уступая своему

ПерВОНачаЛЬНОМу ЖелаНИЮ - (Фтах, тах).

Рис. 86