о (Фтах> тах)

Ф2 Ф4Ф6 Ф5 Фз *1

Рис. 9

1-й шаг, 1-я уступка. Лицо, принимающее решения, соглашается немного ослабить свои изначальные требования по 1-му критерию и заменить Фтах на Фь Аналитик-специалист при помощи границы Парето множества Я (дуги АВ) показывает ему, что соответствующее значение 2-го критерия не может быть больше Ч. Скорее всего лицо, принимающее решения, не сочтет полученную пару (Фь Ч) приемлемой, но согласится немного ослабить свои требования на значение 2-го критерия, что приведет к необходимости 2-го шага.

2-й шаг, 2-я уступка. Лицо, принимающее решения, соглашается заменить Wmax на Аналитик-специалист при помощи границы Парето множества Я (дуги АВ) показывает ему, что соответствующее значение 1-го критерия не может быть больше Ф2. Скорее всего лицо, принимающее решения, не сочтет полученную пару (Ф2, *Рг) приемлемой, но согласится еще немного (по сравнению с Фх) ослабить свои требования по 1-му критерию, что приведет к необходимости 3-го шага.

Ясно, что с каждым шагом, с каждой уступкой просматриваемая часть границы Парето будет сокращаться

(см. рис. 9) и, когда пара (Фя, Ч?п)9 полученная на п-м шаге, покажется лицу, принимающему решения, приемлемой, процесс поиска подойдет к концу. Останется лишь найти решение системы

ABDAlBDAlB2 ЭА3В2 ЭА3В4 ЭА5ВА D...

Ф(х,) = ФЛ, Щх,у) = Ча.

Полученная в результате пара чисел х = х* и у = у* и будет ответом к исходной задаче, полученным методом уступок.

6.3. Метод идеальной точки

Другой подход, также использующий множество Парето, называется методом идеальной точки. Он состоит в отыскании на границе Парето точки, ближайшей к точке утопии, задаваемой лицом, принимающим решения.

Как уже отмечалось выше, обычно лицо, принимающее решения, формулирует цель в виде желаемых значений показателей, и часто в качестве координат целевой точки выбирается сочетание наилучших значений обоих критериев (как правило, эта точка при заданных ограничениях не достигается; поэтому ее и называют точкой утопии).

Рассмотрим конкретный пример поиска идеальной точки.

Пример. Пусть на множестве со плоскости (х, у), определяемом системой неравенств

0<х<2, 0<д><2,

заданы две линейные функции

tf=5x->>+2, ( К = -х + Зд> + 2.

Требуется найти решение задачи

U max V max

при условии, что (х, у) Е О).

Множество со представляет собой квадрат (рис. 10), вершины которого имеют координаты

0,0), 5(0,2), 0(2,2), Д2,0).

В силу линейности критериев U и V квадрат ABCD переходит в параллелограмм PQRS (рис. 11), координаты вершин которого

Л2,2), 0,8), Д(10,6), 5(12,0)

вычисляются по формулам (-&).

12 U

Рис. 11

Точка утопии М*(12, 8) считается заданной (ее координаты суть наибольшие значения U и V).

Граница Парето параллелограмма PQRS состоит из двух отрезков - QR и RS (рис. 12).

Точка, ближайшая к точке утопии М*, принадлежит множеству Парето и должна лежать на одном из составляющих его отрезков - или на отрезке QR, или на отрезке RS.

Рис. 12

Чтобы найти на отрезке QR точку, ближайшую к точке М*, воспользуемся прямой, проходящей через точки Q и А Подставляя в общее уравнение прямой

aU+pV=y

координаты точек Q и R,