8)8 = У, 10а +60 = у,

найдем соответствующие значения параметров а, (5 и у. Из первого равенства получаем, что

а из второго, что

Положим у = 40. Тогда а = 1, /? = 5 и

{/ + 5К = 40 -

уравнение искомой прямой.

Теперь стоит напомнить, как ищется расстояние между точками, заданными своими координатами.

Пусть (Uu Hi) и (U2i V2) - точки на плоскости (U, V). Для того чтобы найти расстояние между ними, достаточно вычислить длину гипотенузы построенного прямоугольного треугольника (рис. 13). Воспользовавшись теоремой

Рис. 13

ux-u2)2+<yx-v2)2

Чтобы отыскать на прямой, описываемой уравнением

U+5V= 40,

точку M\U\ К°), ближайшую к точке АГ(12, 8), нужно решить экстремальную задачу

Z=(U-\2)2 + (F-8)2 -*min (irk)

при условии, что

tf+5K=40.

Заменяя в формуле (ЪЪ) U на 40-5 К, приходим к задаче

Z = (28-5K)2 +(К-8)2 ->min. Возводя в квадрат и приводя подобные, получаем, что z = 26-296 V +848.

Это уравнение описывает параболу, ветви которой направлены вверх (рис. 14). Поэтому своего минимального значения функция z достигает в ее вершине. Из условия

находим К, а затем и U,

Рис. 14 Рис. 15

Из рисунка 15 видно, что точка прямой QR, ближайшая к точке утопии АГ, лежит вне отрезка QR: справа от точки R (U > 10) и ниже ее (У< 6).

Поиск точки, ближайшей к точке утопии М*, на прямой RS приводит к аналогичному результату. В самом.деле, построив уравнение прямой, проходящей через точки R и 5,

ъи + V= 36,

после подстановки

V = 36-3U в формулу (#-&) получаем, что

z = (U- 12)2 + (28-ЗС/)2

и далее

z = 10tf2-192tf + 928. Минимального значения функция z достигает при

Откуда

Найденная точка лежит вне отрезка RS: U < 10, V > 6 (см. рис. 15).

Возьмем окружность с центром в точке М* столь малого радиуса, чтобы она не пересекалась со множеством Q, и будем постепенно увеличивать радиус этой окружности (сохраняя центр в точке М*) до тех пор, пока она не коснется множества Я. Из полученных выше результатов ясно, что эта переменная окружность встретит ломаную QRS в точке Л(10, 6), которая и будет ближайшей к точке утопии АГ, то есть идеальной точкой.

Найденная идеальная точка отстоит от точки утопии АГ(12, 8) на расстоянии 22, равном радиусу построенной окружности (рис. 16).

Рис. 16

Соответствующие значения х* и у* легко находятся из системы линейных уравнений

5х->>+2 = 10, -х + 3>> + 2 = 6.