Имеем

х = 2, / = 2.

Замечание. Мы рассмотрели задачу, в которой

Ф(х,у) max, -> max.

На практике часто встречаются случаи, когда требования выглядят по-иному - так

Ф(х,у) -> max, Чг(х,>>) -> min,

или даже так

Ф(х,у) -> min, хР(х,)0 min.

Можно, конечно, решать такие задачи и непосредственно. Но значительно удобнее учесть, что функция

Q = -4*

достигает наибольшего значения в точности в тех точках, где функция *Р принимает наименьшее значение, и наоборот. Иными словами, условия *Р -> min и 6-> max равносильны.

Поэтому, поменяв в случае необходимости знак у критерия на противоположный, мы можем свести любую двукритериальную задачу к задаче рассмотренного выше типа

Ф(х,у) -> max, max.

6.4. Метод ограничений

Описывая метод уступок и метод идеальной точки, мы исходили из того, что заданные критерии по степени важности неразличимы. Однако нередко приходится сталкиваться с ситуациями, в которых подобное равноправие критериев нарушено, и у каждого из них есть свой вес. Метод свертывания и метод ограничений, о которых мы собираемся говорить далее, показывают, как можно решать многокритериальную задачу с критериями, разными по степени важности.

Начнем с общей постановки линейной многокритериальной задачи.

Задача *. Предположим заданными

область со изменения допустимых значений переменных хи хл, определяемую совокупностью линейных уравнений и неравенств, и

набор критериев Сгь Сгш оценивающих качество искомого решения.

Будем считать, что каждый из этих критериев линейно связан с переменными хь хп,

где уЛ - известные числа.

В области со требуется найти такой набор переменных (хьхЛ), при котором по всем критериям достигались бы максимальные значения,

Crx -> max, Crm -> max.

Метод свертывания описывается совсем просто. Лицо, принимающее решения, из некоторых, часто доступных только ему соображений назначает веса критериев,

w, >0, w, >0, w >0,

2>,.=i,

что позволяет свернуть заданные критерии в один глобальный критерий,

Ov = wA + ... + w,Cr, + ... + wmCrMi

и свести исходную задачу к обычной задаче линейного программирования с одним критерием:

найти в области со такой набор переменных (хи хп), при котором глобальный критерий достигает максимального значения,

Сг# max.

Суть метода свертывания просто и выразительно описывает Гоголь ([2], с 321):

Если бы губы Никанора Ивановича да приставить к носу Ивана Кузьмича, да взять сколько-нибудь развязности, какая у Балтазара Балтазарыча, да, пожалуй, прибавить к этому еще дородности Ивана Павловича - я бы тогда тотчас же решилась.

Метод ограничений строится таким образом, что лицо, принимающее решения, определяет веса заданных критериев, опираясь только на количественную информацию о степени их важности, которую оно получает в ходе изучения поставленной задачи.

Специально подчеркнем, что в распоряжении лица, принимающего решения, никаких предварительных сведений о сравнительной важности критериев нет.

Изложение метода начнем с описания общей схемы решения задачи *.

Обычно для решения многокритериальной задачи методом ограничений требуется несколько шагов (но не больше т - 1).

1-й шаг, как и следующие за ним, разбивается на ряд этапов.

На первом этапе в области допустимых значений w осуществляется оптимизация отдельно по каждому из критериев (решаются соответствующие задачи линейного программирования). Затем для каждого найденного при этой однокритериальной оптимизации набора неизвестных (хь хп) вычисляются значения всех критериев.

Пусть, например, при оптимизации по критерию О / = 1.....w, мы

получили набор (хи, хл>/).

Обозначим через CPti (р = 1,т) значения критериев для этого набора и составив таблицу

Таблица 1

(в /-м столбце помещены значения /-го критерия О вычисленные для наборов, доставляющих максимум каждому из т заданных критериев).

Ясно, что среди значений С/л, Cin Cim критерия О, наибольшим является С/э/,

Си =тгхСрГ

Затем проводится нормировка найденных значений критериев к значениям в промежутке [0, 1] по формулам

Cp>i-mmCgii maxC , - ттС ,