Отношение

показывает, во сколько раз площадь /-й фигуры 5, больше площади к-й фигуры Sk.

Например, если w{ = 30 см2 и м>2 = 24 см2, то отношение

я12 = - = - = 125 12 и>2 24

говорит о том, что площадь фигуры S\ в 1.25 раза больше площади фигуры 52.

Запишем отношения (Ъ) в виде квадратной матрицы

l w2 *1 *2

.wl w2

и проанализируем некоторые свойства этой идеальной матрицы сравнений:

1) для любого / элемент матрицы А, расположенный на пересечении i-й строки и /-го столбца, равен единице,

2) для любых i и к произведение элемента матрицы А, расположенного на пересечении /-й строки и к-vo столбца, на элемент матрицы А, расположенный на пересечении к-й строки и /-го столбца, равно единице,

3) для любых /, к и / произведение элемента матрицы А, расположенного в i-й строке и в к-м столбце, на элемент матрицы А, расположенный в к-й строке и в 1-м столбце, равно элементу матрицы А, расположенному в /-й строке и в 1-м столбце,

4) столбец

является собственным столбцом матрицы А с собственным значением Л = п:

Aw =

Z± -L *i *2

Это наибольшее собственное значение матрицы А

Обратно-симметричные и согласованные матрицы

Отталкиваясь от этих, идеальных наблюдений, обратимся к квадратным матрицам порядка п

все элементы которых положительны, aik > 0. Такие матрицы часто называют положительными.

Матрица А называется обратно-симметричной, если для любых / и к выполняется соотношение

Из этого, в частности, следует, что

*,= 1.

Матрица А называется согласованной, если для любых /, ки I имеет место равенство

Тем самым, идеальная матрица сравнений обратно-симметрична и согласована.

Построить какую-нибудь обратно-симметричную матрицу совсем нетрудно. Правда, вряд ли она окажется согласованной.

Существует достаточно простой критерий, позволяющий определить это.

ТЕОРЕМА [6]. Положительная обратно-симметричная матрица является согласованной тогда и только тогда, когда порядок матрицы и ее наибольшее собственное значение совпадают,

Это означает, в частности, что если наибольшее собственное значение обратно-симметричной матрицы равно ее порядку, то эта матрица непременно будет согласованной.

Индекс согласованности

Ясно, что если элементы положительной обратно-симметричной согласованной матрицы А незначительно изменить (подвергнуть малому шевелению), то максимальное собственное значение также изменится незначительно.

Пусть А - произвольная положительная обратно-симметричная матрица и - ее наибольшее собственное значение.

Если

то матрица А - согласованная. Если же

(всегда Лтах > я), то в качестве степени отклонения положительной обратно-симметричной матрицы А от согласованной можно взять отношение

max Я

п-1

которое называется индексом согласованности матрицы А и является показателем близости этой матрицы к согласованной.

Замечание. Степень согласованности суждений считается удовлетворительной, если индекс согласованности не превышает 0.10.