Вычисление собственных характеристик обратно-симметричной матрицы

Естествен вопрос, как находить наибольшее собственное значение Ащах положительной обратно-симметричной матрицы.

В общем случае эта задача, хотя и разрешима, но технически достаточно сложна. Поэтому, желая содержательно, но относительно просто ответить на поставленный вопрос, мы вынуждены чем-то поступиться. Проще всего поступиться точностью вычислений, т. е. искать приближенное значение наибольшего собственного числа.

Для этого поступают так: сначала приближенно строится нужный собственный столбец, а затем по нему ищется приближенное собственное значение.

Опишем несколько простых способов отыскания приближенного собственного столбца обратно-симметричной матрицы [6]. 1-й способ:

1) элементы каждой строки складываются и полученные результаты записываются в столбец,

2) все элементы найденного столбца складываются и

3) каждый из элементов этого столбца делится на полученную сумму. 2-й способ:

1) элементы каждого столбца складываются и полученные результаты записываются в столбец,

2) каждый элемент построенного столбца заменяется на обратный ему,

3) элементы столбца из обратных величин складываются и

4) каждый из этих элементов делится на полученную сумму. 3-й способ:

1) элементы каждого столбца складываются,

2) элементы каждого столбца делятся на их сумму,

3) элементы каждой строки полученной матрицы складываются,

4) полученные результаты записываются в столбец и

5) каждый из элементов этого столбца делится на порядок исходной матрицы л.

4-й способ:

1) элементы каждой строки перемножаются и полученные результаты записываются в столбец,

2) из каждого элемента найденного столбца извлекается корень л-й степени,

3) элементы полученного столбца складываются и

4) каждый из его элементов делится на найденную сумму.

Совсем нетрудно убедиться в том, что каждый из приведенных способов, будучи примененным к идеальной матрице, дает один и тот же точный результат - собственный столбец, отвечающий наибольшему собственному значению л.

В применении к обратно-симметричной, но не согласованной матрице ни один из предложенных способов к собственному столбцу уже не приводит. Тем не менее, при вычислении приближенных собственных столбцов таких матриц удобно пользоваться именно этими способами.

Сложность вычислений возрастает с увеличением номера способа, но увеличивается и точность.

Замечание. Специально подчеркнем, что описанные способы вычисления приближенного собственного столбца матрицы эффективны лишь для обратно-симметричных матриц, достаточно близких к согласованным.

Столбец приоритетов

Вычислим одним из предложенных способов приближенный собственный столбец обратно-симметричной матрицы 4-го порядка

1 5 6 7

1/5 1 4 6

1/6 1/4 1 4

1/7 1/6 1/4 1

полученной в результате попарных сравнений четырех объектов А, В, С и D. Например, вторым. Имеем

3)0,97, 4)

0,68 0Д6 0,09 0,06

(указаны результаты каждого из четырех шагов).

Замечание. Точный метод построения собственного столбца заданной матрицы дает следующий результат:

0,61 0,24 0Д0 * 0,05

Итак, приближенный собственный столбец найден. Остается найти соответствующее собственное значение. Покажем, как это можно сделать.

Если мы хотим проверить, является ли предъявленный столбец х собственным столбцом матрицы А, следует поступать так: 1) умножить матрицу А на этот столбец

Ах = у,

или подробнее

2) разделить элементы полученного столбца у на соответствующие элементы столбца х

Если все отношения совпадают

*-=...-,с>

то их общее значение и есть собственное значение матрицы А, отвечающее данному столбцу х.

Если же хотя бы одно из равенств (*) нарушается, то столбец х уже не является собственным столбцом матрицы А.

Именно такой случай нас и интересует.

Выберем в качестве приближения к искомому собственному значению среднее арифметическое отношений

Ух Уп

Имеем