Главв 9

а.2 =

ц=1,00, <j х-ц 1,02-

0,05 1,00

= 0,4

0,05

На основании таблицы А приложения, Р(х > z) = 0,5000 - 0,1554 = 0,3446.

Распределение партии

ц=1,00 1,02

б., = = М2 = 2,00 а/л/п 0,05/V25

По таблице А приложения находим Р(х > z) = 0,5000 - 0,4772 = 0,0228.

Выборочное распределение средних значений

ц=1,00 1,02

Задача 2

Контрольные графики средних и разброса. Стальные конструкции имеют спроектированный вес 10 унций. Было взято пять партий, и проведено по четыре исследования каждой партии. Используйте данные по партиям совместно с таблицей 9-2 для расчета контрольных границ для карты средних и карты разброса. Говорят ли результаты, что процесс находится под контролем?

Задача 1

Распределение процесса и распределение партии. Промышленный процесс производит 3-футовые секции пластмассовых труб, со средним внутренним диаметром - 1 дюйм, и стандартным отклонением 0,05 дюйма.

а. Если произвольно выбрать кусок трубы, - какова будет вероятность, что его диаметр превышает 1,02 дюйма (в предположении, что распределение является нормальным)?

б. Если произвольно выбрать партию из 25 отрезков труб, - какова будет вероятность, что среднее значение партии превысит 1,02 дюйма?

Решение:

Партия 1 Партия 2 Партия 3 Партия 4 Партия 5

Итого:

Решение:

а. Определите среднее значение и разброс каждой партии X = -, Разброс = Наибольший (вес) - Наименьший (вес)

Партия Среднее Разброс

б. Определите среднее для всех партий и средний разброс 10,0+ 10,1 + 9,9+ 10,2+ 10,0 50,2

= 10,04

- 0.4 + 0.6 + 0,4 + 0,6 + 0,6 2,6

Я- - 5 -и,ь

в. Получите величины Аг, D4 и D3 из таблицы 9-2 для п=4: А2 = 0,73, D4 = 2,28, Ds = О

г. Рассчитайте верхние и нижние контрольные границы ВКГх = X + ЛгЯ = 10,4 + 0,73 х 0,52 = 10,42

НКГх = X - АЙ = 10,4 - 0,73 X 0,52 = 9,66 ВКГв = D4R = 2,28 X 0,52 = 1,19 НКГд = D3R = О X 0,52 = О

д. Нанесите среднее значение и разброс на соответствующие контрольные графики, или проверьте иным способом попадание точек в заданные границы. Наименьшее среднее значение 9,9; наибольшее 10,2. Оба они находятся в пределах контрольных границ. Наибольшее значение разброса 0,6 -что тоже попадает в допустимые пределы. Следовательно, результаты показывают, что процесс находится под контролем. Заметьте, однако, что для наглядности взято не очень большое число партий; 20 и более партий дадут более точные показатели контрольных границ и помогут точнее определить, находится ли процесс под контролем.

Задача 3

Ошибка I типа (альфа-риск). После того, как несколько исследований точек за пределами контрольных границ ничего не выявили, менеджер стал подумывать о вероятности появления ошибки I типа (Z = 1,90).

а. Определите альфа-риск для данного значения Z.

б. Какое значение Z даст альфа-риск около 2%?

Решение:

а. По таблице А из приложения определяем, что область под кривой между Z = О и Z =+1,90 составляет 0,4713. Таким образом, область (вероятность) значений в пределах от -1,90 до +1,90 составляет 2 х 0,4713 = 0,9426, а область за пределами данных значений 1 - 0,9426 =0,0574.

б. Альфа-риск (вероятность ошибки I рода) определяется как область у краев распределения. Контрольный график дает две контрольные границы. Следовательно, половина значения риска находится у каждого края графика. Таким

НКГ = 0,04 - 2\/ = 0,001

Задача 5

Тестирование серий. Число дефектов в 11 взятых партиях показано ниже. Определить присутствие тенденций.

Серии

1 23456789 10 11

Число де-

фектов 22 17 19 25 18 20 21 17 23 23 24

образом, область правого края составляет 1% или 0,0100. Это означает, что 0,4900 будет областью под кривой между z = О и искомым значением z. Самая близкая величина - зто 0,4901 для z = +2,33. Таким образом, уровень альфа-риска около 2% дают контрольные границы на основе z = ±2,33.

Задача 4

Р-график и С-график. Используя соответствующий контрольный график, определите контрольные границы 2а для каждого следующего случая:

а. Инспектор определил в среднем 3,9 трещин во внешней покраске каждого автомобиля из партии, приготовленной к отправке дилерам.

б. Перед отправкой дилерам партии газонокосилок, инспектор попытался запустить каждую косилку и обнаружил, что не все запускаются с первого раза. Размер партии - 100 косилок, 4 из них не запустились с первого раза (4%).

Решение:

Выбор контрольного графика зависит от того, можно ли псщсчитать два типа результатов (р-график), либо только определить существующие дефекты (с-график).

а. Инспектор в состоянии подсчитать лишь имеющиеся трещины. Следовательно, здесь используется с-график. Средняя величина дефектов в данной партии составляет 3,9 трещин на каждый автомобиль. Контрольные границы 2а рассчитываются по следующим формулам:

ВКГ = с + zVc

НКГ = с - zVc,

где с = 3.9 и z = 2. Таким образом, ВКГ = 3,9 + 2у13 = 7,85 трещин НКГ = 3,9 - 2V3 = -0,05 (О трещин)

(Заметьте, что округление до нуля производится лишь при отрицательном значении нижней границы.)

б. Инспектор может подсчитать число как запускаемых, так и не запускаемых с первого раза косилок. Следовательно, используется р-график. Контрольные границы 2а рассчитываются по следующим формулам:

ВКГ = рч-гл/13

HKr = p-zA/SnW,

где р = 0,04, п=100, z = 2. Таким образом, ВКГ = 0,04+ 2л/5; = 0,079