Для а = 0,2 получим:

Fi = 0,2At-i+0,l6A, 2 + 0,l2SAt i + 0,m4Ai 4 + ... И для а= 0,5 получим:

F, = 0,5 l + 0,25/i, 2 + 0,125, 3 + 0,0625, 4+...

ПРИМЕР 3

Используйте метод экспоненциального сглаживания, чтобы разработать ряд прогнозов для приведенных ниже данных и вычислить (Фактическое значение - Прогноз) = Ошибка для каждого периода.

а. Используйте коэффициент сглаживания 0,10.

б. Используйте коэффициент сглаживания 0,40.

в. Постройте общий график для фактических данных и обоих прогнозов.

Решение:

а=0,10

а =0,40

Период (t) Фактический Прогноз

Ошибка

Прогноз

Ошибка

D. С

45 -

j 1 i l

Период

Методы для тенденции

Компонент тенденции во временном ряду отражает эффекты любых долгосрочных факторов в нем. Анализ тенденции включает поиск уравнения, которое соответствующим образом опищет тенденцию (принято, что тенденция представлена в данных). Компонент тенденции может быть линейным, а может и не быть. Некоторые наиболее часто встречающиеся тенденции с нелинейными функциями представлены на рисунке 10-5. Простой график данных часто может показать характер компонента тенденции. Предметом нашего обсуждения послужит исключительно лмнешая тенденция, потому что она достаточно часто встречается и с ней легко работать.

Параболическая тенденция

Время

Время

Экспоненциальная тенденция

ШшМ.

Время УI

Время

Кривая роста

Время

Рис. 10-5. Графики наиболее общих видов нелинейных тенденций

Существуют два важных метода, которые можно использовать для разработки прогнозов, когда присутствует тенденция. Один из них предполагает использование уравнения тенденции; другой - расширение экспоненциального сглаживания.

Уравнение тенденции. Линейное уравнение тенденции имеет следующий вид:

У1 = а + Ы, (10-3)

где t - определенное число периодов времени от t = О

, - прогноз для периода t

а - значение Yt при t = О b-наклон линии

t Линейное уравнение тенденции - Yt = а + Ы - ис-

пользуется для разработки прогнозов в случае присут- т j ствия тенденции.

Например, рассмотрите уравнение тенденции Yt = 45 + 5t. Значение Yt при t = О, равно 45, и наклон линии Ь= 5. Это означает, что в среднем, значение Yt

Экспоненциальное сглаживание тенденций. Разновидность простого экспоненциального сглаживания может использоваться, когда временной ряд выявляет тенденцию. Эта разновидность называется экспоненциальным сглаживанием, учитывающим тенденцию или, иногда, двойным сглаживанием. Оно отличается от простого экспоненциального сглаживания, которое используется только тогда, когда данные изменяются вокруг некоторого да среднего значения или имеют скачкообразные или по- t Экспоненциальное ста- гтепенные изменения f живание тенденции - раз- I степенные изменения. . новтиость экспоненталь- I Если ряд выявляет тенденцию и при этом исполь- . о-о сглаживания, которую t зуется простое экспоненциальное сглаживание, то все используют, когда времен- > прогнозы будут запаздывать по отношению к тенден- ной ряд выявляет тенденцию. ции. Например, если данные увеличиваются, то каж-

увеличится на пять единиц для каждого единичного увеличения t. Если t = 10, то прогноз Yt будет 45 + 5 (10) = 95 единиц. Уравнение может быть отражено графически, нахождением двух точек на линии. Одна может быть найдена путем подстановки некоторого значения t в уравнение (например, t = 10), а затем решением его относительно Yt. Другая точка - а (т.е. Yt при t=0). Построение этих двух точек и прямой через них, дает нам график линейной тенденции.

Коэффициенты прямой - а и Ь, могут быть вычислены из статистических данных за определенный период, с использованием следующих двух уравнений:

V VV 0-4)

=-п-

где п - число периодов

у - значение временного ряда

Эти уравнения идентичны тем, которые используются для вычисления прямой линейной регрессии, за исключением того, что в нихх заменяют на t. Вычисление коэффициентов прямой тенденции вручную можно упростить использованием таблицы 10-1, которая содержит список значений X и 2/2 для 20 (п = 20) периодов.

Таблица 10-1. Значения Yf и