Краткого описания регрессионных методов будет

достаточно для того, чтобы определить место этого Регрессия - метод постро-

метода среди других методов прогнозирования, они- Г~ ТнЙу Spy

санных в данной главе. точек.

Простая линейная регрессия

Самая простая и наиболее распространенная форма регрессии представляет собой линейную связь между двумя переменными. График значений может походить на график на рисунке 10-9.

Цель линейной регрессии - получить уравнение прямой линии, которая дает минимальную сумму квадратов вертикальных отклонений точек данных от линии. Линия наименьших квадратов отклонений описывается уравнением:

у = а + Ьх,

где Ус - предсказанная (зависимая) переменная X - переменная-предсказатель (независимая) b - наклон линии

а - значение Yc при х = О (т.е высота линии на пересечении с осью Y)

Обратите внимание: обычно значения предсказанной переменной показывают на

оси Y, а значения переменной-предсказателя - на оси X. График линейной регрессии

показан на рисунке 10-10.

Коэффициенты прямой а и b вычисляются по следующим двум уравнениям:

(Xx2)-(Ix)2

Ъ-ьЪс

Линия наименьших квад-ратоа - обеспечивает минимальную сумму квадратов

Lотклонений от линии.

(10-8)

(10-9)

а = -

Ю1И у - Ьх,

(10-10)

где п - число парных наблюдений

Один из аспектов применения регрессии в прогнозировании связан с использованием индикаторов. Это - неконтролируемые (независимые) переменные, которые ведут или предшествуют изменениям в искомой переменной. Например, изменения в процентной ставке Федерального резервного управления могут влиять на некоторые виды деловой активности. Аналогично, увеличение объемов строительства в течение весенних и летних месяцев может вести к увеличению в зимние месяцы спроса на быто-

Рис. 10-10. Уравнение прямой

Линия пересекает ось у в точке у=а. Наклон линии =Ь

522 Глава 10

вые приборы, ковры, мебель, и т.п. Тщательное определение и анализ индикаторов в некоторых ситуациях дают представление о возможном будущем спросе. Эти данные опубликованы ивы можете выбрать те из них, которые вам необходимы:

Изменение наличных и заказанных материальных запасов.

Процентная ставка для коммерческих ссуд.

Объем производства.

Индекс потребительских цен (consumer price index - CPI) Индекс оптовых цен Цены рынка акций

Другие потенциальные индикаторы - показатели миграции населения, местный политический климат, действия других компаний (например, открытие торгового центра может в результате увеличить объемы продаж близлежащих торговых точек). Чтобы то или иное событие могло служить индикатором, необходимы три условия:

1. Связь между движением индикатора и движением переменной должна иметь логическое объяснение.

2. Движение индикатора должно настолько предшествовать движению зависимой переменной, чтобы прогноз неустарел прежде, чем его используют.

3. Между двумя переменными должна существовать высокая степень корреля-

ции.

V V- ;!,;;v. -*.niK--.¥. ;r* fL-t sra Коррсляция измсряст стспснь И направленис связи

Корреляция - показатель У между двумя переменными. ;j степени и направления Значение корреляции может находиться в диапа-

связи между двумя пере- зде .iqq + j оо. Корреляция +1,00 показывает, -5 менными. 1

i I что изменение одной переменной всегда соответствует

, jjjgjjgHj другой; корреляция -1,00 показывает, что

увеличение одной переменной соответствует уменьшению другой; а корреляция, близкая к нулю, указывает на малую линейную связь между двумя переменными. Корреляцию между двумя переменными можно вычислить с использованием следующего уравнения:

V (I>2) - (1 2 x Vh(2>2) (5)2

ПРИМЕР 8

Компания Healthy Hamburgers имеет сеть из 12 магазинов на севере штата Иллинойс. Показатели продаж и прибыли для каждого магазина приведены в таблице. Получите прямую регрессии для этих данных и предскажите прибыль для одного магазина, принимая объем продаж равным $10 миллионам.

См., например, The National Bureau of Economic Research, The Survey of Current Business, The Monthly Labor Review, Business Conditions Digest.

Решение:

Сначала построим график данных и определим, является ли линейная модель приемлемой (т.е. точки должны располагаться вокруг некоторой прямой линии. Рисунок 10-11 показывает, что так оно и есть.).

Затем вычислим показатели Zx, Хху и 1x2. Вычисления показаны в таблице 10-3. Одно дополнительное вычисление, 1у2, включено для позднейшего использования. Подставляя данные в уравнение, находим:

п1>у - (1>)(Ху) 12 x 35,29 - 132 x 2,71

? а =

п(1>2) - (1>)2 12 X 1,796 - 132 X 132 Ху-Ь1> 2,71 - 0,01593 x 132

= 0,0506

п 12

Таким образом, уравнение регрессии имеет следующий вид: Yc= 0,0506 + 0,01593х. Для продажсх = 10 (т.е. $10 миллионов), оценка прибыли Ус = 0,0506 + 0,01593 (10) = 0,2099, или $209900. (Может показаться странным, что подстановка х = О в уравнение дает прогноз прибыли $50600, потому что на первый взгляд это предполагает получение прибыли без продаж. Однако значение х = О лежит вне диапазона наблюдаемых значений. Линия регрессии должна использоваться только для того диапазона значений, для которого она была определена; за пределами данного диапазона связь может быть нелинейной. Цель значения а - просто установить точку пересечения линии с осью у.)

о о о о

6 8 10 12 14 Продажи ($ миллионы)

18 20

Рис. 10-11. Применение линейной модели оправдано

Таблица 10-3. Расчеты коэффициентов регрессии для примера 8