ПРИМЕР 9

В приведенной ниже таблице показана продажа 1Э-дюймовых цветных телевизоров и отстающая на три месяца безработица. Определите, можно ли использовать уровень безработицы для предсказания спроса на 1Э-дюймовые цветные телевизоры, и если да, то получите прогнозирующее уравнение.

Период 1 23456789 10 11

Число продаж 20 41 17 35 25 31 38 50 15 19 14

% безработицы (от- 7,2 4,0 7,3 5,5 6,8 6,0 5,4 3,6 8,4 7,0 9,0

ставание 3 месяца)

i Решение:

1. Отобразите данные графически и убедитесь, что линейная модель приемлема. В ? данном случае, как мы видим, линейная модель приемлема для определенного I диапазона данных.

i 2. Рассчитайте коэффициент корреляции, чтобы убедиться в том, что он не равен j нулю.

Комментарии по использованию линейного регрессионного анализа

Использование простого регрессионного анализа подразумевает, что удовлетворяются некоторые условия. Основные из нихтаковьс

1. Колебания около прямой носят случайный характер. Если они случайны, то никакие структуры типа циклов или тенденций не должны проявляться на графике данных.

2. Отклонения от прямой должны быть нормально распределенными. Концентрация значений близко к прямой с небольшими отклонениями поддерживает положение о нормальности распределения.

3. Предсказания делаются только для определенного диапазона наблюдаемых значений.

Если данные условия удовлетворяются, то регрессионный анализ может стать очень эффективным инструментом прогнозирования. Особенно полезными являются доверительные интервалы для предсказанных значений. Для получения оптимальных результатов соблюдайте следующее:

1. Всегда отображайте данные графически, чтобы убедиться в наличии линейной связи.

2. Данные могут зависеть от времени. Проверьте это построением графика зависимой переменной как функции времени; если проявляется закономерность, то используйте анализ временного ряда вместо регрессионного, или используйте время в качестве независимой переменной множественного регрессионного анализа.

3. Малая корреляция может означать важность других переменных. Кроме того, учтите некоторые слабые стороны регрессии:

1. Простая линейная регрессия применяется только к линейным связям с одной независимой переменной.

2. Для установления связи необходимо значительное количество данных, - на практике это 20 или более наблюдений.

3. Все наблюдения имеют одинаковый коэффициент значимости.

40 30

? 20

ШШшт

2 4 6 8 10

Уровень безработицы (%), х

I г =

11(1750,8)-70,2(305)

Vl 1(476,3) - (70,2)2 X Vl 1(9907) - (305)2

= -0,966

Это достаточно высокая отрицательная корреляция. 3. Вычислите прямую регрессии:

11(1750,8) - 70.2(305) 11(476,4)-70,2(70,2)

305 - (-6,9145)(70,2)

=-п-=

у = 71,85 - 6,89х

I Обратите внимание, что уравнение относится только к уровню безработицы в диа-I пазоне от 3,6 до 9,0, так как выборочные наблюдения распространяются только на I данный диапазон. i

Криволинейный и множественный регрессионный анализ

Простая линейная регрессия может неадекватно обрабатывать некоторые задачи, - потому что линейная модель им не соответствует или же имеется более, чем одна независимая переменная. Когда присутствует нелинейная связь, то необходимо использовать криволинейную регрессию; модели, которые включают больше одной переменной-предсказателя, требуют использования множественного регрессионного анализа. Рассмотрение данных методов анализа не входит в нашу задачу, но тем не менее, вы должны знать, что они существуют и часто используются. Вычисления в основном

526 . Глава

компьютеризованы и не производятся вручную. Множественный регрессионный прогноз существенно увеличивает число необходимых исходных данных. В каждом слу-чае необходимо оценивать дополнительные затраты и усилия относительно потенциального увеличения точности прогноза.

Точность и проверка прогнозов

Точность и проверка прогнозов - жизненно важный аспект прогнозирования. Сложная природа бол ьщинства реальных переменных делает почти невозможным правильное предсказание их будущих значений на регулярной основе. Следовательно, важно включить в прогноз показатель возможного отклонения прогноза от действительного значения переменной. Это даст пользователю лучшее представление о степени точности прогноза.

Кроме того, некоторые методы обеспечивают большую точность в данной ситуации, чем другие, - поэтому пользователю необходимо иметь некоторый эталон точности, чтобы использовать его как основу при выборе метода прогнозирования.

Наконец, некоторые применения прогнозов требуют использования нескольких прогнозов (например, недельные доходы), в то время как для других достаточно одноразового прогноза, который будет использован для разового решения (например, определение размера электростанции). Когда делаются периодические прогнозы, то важно контролировать ошибки прогноза, определяя, находятся ли эти ошибки в допустимых пределах. Если нет, то необходимо предпри-жssx нимать корректирующие действия.

Ошибка - разность факти- П, Ошибка Прогноза - это разница между фактичес-

! ческого и предсказанного I ким и предсказанным значением. значения. ,-,

t Следовательно, Ошибка = Фактическое значение

-Прогноз;

Значение ошибки бывает положительным, когда прогноз занижен, отрицательным - когда прогноз завышен. Например, если фактический спрос в течение недели- 100 единиц, а прогнозируемый спрос был 90 единиц, - то прогноз был слишком низок; ошибка: 100-90= +10.

Ошибки прогноза влияют на решения двумя различными способами. Один из них заключается в выборе между различными вариантами прогноза, а другой - в оценке успеха или неудачи примененного метода прогнозирования. Сначала мы изучим способы суммировать ошибки прогноза и посмотрим, как можно применить эту информацию при выборе между альтернативными вариантами прогнозов. Затем мы рассмотрим способы проверки прогнозов: т.е. как оценить эффективность использования данного метода прогнозирования.

Вычисление точности прогноза

Два аспекта точности прогноза имеют потенциальную значимость при выборе альтернативных вариантов прогнозов. Первый - историчес-:х: :;теш1111.х;к&ж?£лз№.жщ ая ошибка выполнсния прогноза, а другой - способ-I МАО - среднее абсолютное ность прогноза реагировать на изменения. J отклонение. д вычисления ошибок прогноза обычно ис-

. ж1 .-тта< ж таетжж.-. пользуют два показателя - среднее абсолютное откло-sm. 5 sw- a to -:k kair,!sisi нение (шсап absolute deviation - MAD) и среднее квад-I MSE - среднее квадрата рата ошибки (mean squared error -MSE). i ошибки. i Для вычисления MAD и MSE используются сле-

й .5 жу.-!еттта*етз!гет5етг1 ДуЮЩИС форМуЛЫ: