Загрузка системы

100%

Рис. 17-6. С увеличением загрузки системы, среднее время ожидания клиента в очереди и число ожидающих растет по экспоненциальному закону

Модели очередей: бесконечный поток

Существует большое число моделей, из которых аналитики выбирают наиболее подходящую. Наше обсуждение коснется четырех самых основных и распространенных моделей. Цель - скорее познакомить читателя с некоторым диапазоном моделей, чем широко осветить данную область. Все модели характеризуют прибытие клиентов распределением Пуассона. Кроме того, модели рассматривают работу системы в ста-бтьных условиях, т.е. предполагается постоянный средний уровень прибытия и обслуживания. В число четырех моделей, описанных в нашей книге, входят следующие:

1. Один канал, экспоненциальное время обслуживания.

2. Один канал, постоянное время обслуживания.

3. Несколько каналов, экспоненциальное время обслуживания.

4. Различный порядок очередности (многоприоритетная система обслуживания), экспоненциальное время обслуживания.

Чтобы облегчить вам использование моделей очередей, в таблице 17-1 представлены основные символы, которые применяются в моделях бесконечного потока.

Таблица 17-1. Символы моделей бесконечного потока

Символ

Значение символа

Темпы прибытия клиентов Темпы обслуживания

Среднее число клиентов, ожидающих обслуживания

Среднее число клиентов в системе (ожидающих и/или уже обслуженных)

Загрузка системы

Среднее время ожидания в очереди

Среднее время пребывания клиента в системе (включая

время ожидания и время обслуживания) Время обслуживания Вероятность нулевых единиц в системе Вероятность нахождения п единиц в системе Число единиц обслуживания (каналов) Макисмапьное число ожидающих в очереди

(17-5)

Все модели бесконечного потока требуют, чтобы значение загрузки системы было меньше 1,0. Модели применимы только к недогруженным системам.

Среднее число ожидающих в очереди клиентов, Lq, является основной величиной, так как оно определяет некоторые другие показатели работы системы, а именно: среднее число клиентов в системе, среднее время ожидания в очереди, среднее время в системе. Следовательно, при решении задач Lq, как правило, определяется в первую очередь.

ПРИМЕР 1

По утрам клиенты приходят в булочную в среднем по 18 человек в час. Прибытие может быть описано распределением Пуассона со средней величиной 18. Каждый продавец в среднем обслуживает одного клиента за 4 минуты; это время может быть описано экспоненциальным распределением со средним значением 4 минуты.

а. Каковы темпы прибытия и обслуживания?

б. Рассчитайте среднее число обслуживаемых клиентов.

в. Предположим, что среднее число ожидающих в очереди клиентов равно 3,6. Рассчитайте среднее число клиентов в системе (т.е. ожидающих и обслуживаемых), среднее время ожидания, среднее время в системе.

г. Определите загрузку системы для М = 2, 3 и 4 канала.

Решение:

а. Темп прибытия задан - 18 человек в час. Темпы обслуживания в час можно получить, пересчитав время в часы и взяв обратную величину. Так, 4 минуты на клиента : 60 минут в часе = 1/15. Обратная величина - 15 клиентов в час.

Основные зависимости

Во всех моделях бесконечного потока действуют некоторые основные зависимости. Их знание окажет существенную помощь в определении необходимых показателей работы системы (при наличии нескольких ключевых показателей). Основные формулы:

1. Среднее число обслуженных - это отношение темпов прибытия ктемпам обслуживания. (Величины должны выражаться в одинаковых единицах измерения- например, число клиентов в час, часло клиентов в минуту.)

.4 (17-1)

2. Среднее число клиентов в системе - сумма среднего числа ожидающих и среднего числа обслуженных.

Ls = Lq + r (17-2)

3. Среднее время ожидания в очереди - отношение среднего числа клиентов в очереди к темпам прибытия.

W £i (17-3)

4. Среднее время в системе - сумма времени ожидания в очереди и времени обслуживания.

5. Загрузка системы -: отношение темпов прибытия к мощности системы.

: б. г = 18 : 15 = 1,2 клиента ; в. Дано; Lq = 3,6 клиентов I Ls = Lq + г = 3,6 + 1,2 = 4,8 клиентов

L 3 6

Wq = = = 0,20 часа на клиента, или 0,20 часа х 60 минут в часе = 12 минут

Wg = Время ожидания + Время обслуживания =

? 1 1

= И/q + = 0,20 +j = 0,267 часов, или приблизительно 16 минут

; г. Загрузка системы:

Для М = 2 Для М = 3 Для М = 4

р = 18: 2(15) = 0,60 р = 18 : 3(15) = 0,40 р = 18: 4(15) = 0,30

Таким образом, по мере увеличения мощности системы (измеряемой в единицах обслуживания - каналах), снижается загрузка системы.

Модель 1: один канал, экспоненциальное время обслуживания

Простейшая модель - система, состоящая из одной единицы обслуживания (или одной бригады). Порядок обслуживания - первым пришел - первым обслужен . Темп прибытия клиентов описывается распределением Пуассона, а время обслуживания - обратным экспоненциальным распределением. Ограничений на длину очереди нет.

Таблица 17-2 содержит список формул для одноканальной модели, в дополнение к формулам с 17-1 по 17-5.

Таблица 17-2. Формулы для основной одноканальной модели

Показатель работы системы

Уравнение

Среднее число в очереди

Вероятность нулевого числа клиентов

Вероятность п клиентов в системе

Р-1 (

(17-6)

(17-7) (17-8)

ПРИМЕР 2

Авиакомпания планирует открыть дополнительный пункт продажи авибилетов в новом торговом центре. Работать будет один кассир. Предполагается, что в среднем за информацией и билетами будут обращаться 15 человек в час; применяется распределение Пуассона. Время обслуживания описывается экспоненциальным распределением. Среднее время обслуживания (рассчитано на основании прошлого опыта) - примерно 3 минуты на клиента. Определите:

а. Загрузку системы.

б. Процент времени простоя системы.

в. Предполгаемое число клиентов, ожидающих обслуживания.

г. Среднее время, которое клиент проведет в системе.

д. Вероятность нулевого числа клиентов в системе и вероятность 4 клиентов в системе.