Для использования таблицы 17-4, необходимо рассчитать значение Х/\1 и округлить его до указанного в таблице десятичного знака. Затем просто найдите значения Lq и Pq для соответствующего числа каналов (М). Например, для Х/\х = 0,50 и М = 2, таблица дает значение Lq = 0,033, и Pq = 0,600. Теперь с помощью этих величин можно рассчитать другие показатели системы. Обратите внимание, что формулы таблицы 17-3 и значения таблицы 17-4 предлагают средние (т.е. предполагаемые) значения. Также отметьте, что данные таблицы 17-4 можно использовать и для одноканальной модели (т.е. М = 1).

ПРИМЕР 4

Таксомоторная компания Alpha Taxi and Hauling держит 7 машин на стоянке в аэропорту. По подсчетам компании, по будним дням (к концу дня и поздно вечером) поступление заказов от клиентов подчиняется распределению Пуассона со средним значением 6,6 в час. Время обслуживания описывается экспоненциальным распределением со средней величиной 50 минут на клиента. Предположим, что в одну машину садится один клиент. Определите все показатели работы системы, представленные в таблице 17-3, и загрузку системы.

Решение:

Х = 6,6 в час; М = 7 машин (серверы) 1 клиент на поездку

50 мин. на поездку/60 мин. в часе

= 1,2 клиента в час на машину

j ij = 5,5. Из табл. 17-4 при М = 7 имеем Lq = 1,674 и Pq = 0,003 j а. Lq= 1,674 клиента

\ б. Ро = 0,003 I

= = [7(1,2)- 6,6] = ?

г. Pw =

= (5,57) °°°L -0,423

Этот процесс можно проводить и в обратном порядке; то есть аналитик может определить мощность системы, необходимую для достижения заданных показателей работы системы. Такой подход иллюстрируется в примере 5.

ПРИМЕР 5

Таксомоторная компания Alpha Taxi and Hauling планирует стоянку своих машин на ; новой железнодорожной станции. Средний темп прибытия клиентов - 4,8 в час, а i время обслуживания (включая время возвращения на станцию) - 1,5 часа. Сколько i машин потребуется, чтобы среднее время ожидания в очереди было 20 минут и менее?

: Решение:

\ Я. = 4,8 клиента в час ц = 1,5 часа

: м = ?

- Wq{жeлaeмoe) = 20 мин., или 0,333 часа

* Используя формулу для l-q( Lq = l/Wq), ВЫ можвте решить уравнение для Lq : 4,8/в час X (0,333 часа) = 1,6 единиц. Таким образом, среднее число ожидающих не долж-

: но превышать 1,6 клиентов. Обратившись к таблице 17-4 для г = 3,2, находим Lq = 2,386 для М = 4 и 0,513 для М = 5. Следовательно, на стоянке необходимо держать

{ 5 машин.

Анализ затрат

Проект системы обслуживания часто отражает желание руководства сбалансировать расходы по мощности и ожидаемые затраты, связанные с ожиданием клиентов. Например, проектируя погрузочные платформы для крупного склада, стоимость погрузочных участков и труда бригады грузчиков следует определять с учетом затрат на разгрузку и ожидание разгрузки грузовиков с водителями.

Оптимальной мощностью системы (обычно измеряется числом каналов) является такая, при которой сводится к минимуму сумма расходов на ожидание клиентов и на поддержание мощности. Таким образом, цель:

Минимизировать:

Общие = Стоимость + Стоимость поддержания

расходы ожидания мощности

клиентов

Простейшим подходом к анализу затрат является расчет системных издержек, т.е. подсчет затрат для клиентов и общих затрат на обеспечение сервисных возможностей.

Для определения мощности системы, которая даст минимальные общие расходы, используют процесс повторения (итерации). Мощность последовательно увеличивают на единицу (например, можно увеличивать по одному число каналов), и для каждого увеличения определяются общие расходы. Поскольку кривая общих расходов имеет U-образную форму, то с увеличением мощности показатели общих расходов вначале снижаются, а затем постепенно снова возрастают. Когда они начинают расти, дальнейшее увеличение мощности влечет за собой дальнейший рост затрат. Следовательно, в этот момент легко определить оптимальный показатель мощности.

Расчет затрат, связанных с ожиданием клиентов, основан на среднем числе клиентов в системе. На первый взгляд такой подход не очень понятен; более подходящей величиной кажется вре.\1Я ожидания в системе. Тем не менее, данны й показатель дает информацию лишь по одному клиенту и не отвечает на вопрос, сколько клиентов будет ожидать обслуживания в течение этого времени. Очевидно, что пять ожидающих клиентов повлекут за собой меньшие затраты, чем девять. Таким образом, необходимо сделать акцент на числе клиентов. Кроме того, если в системе ожидают двое клиентов, это то же самое, что в системе постоянно присутствует двое клиентов, даже если на самом деле в некоторые периоды посетителей больше или меньше.

Необходимо сделать одно дополнение, касающееся анализа затрат. Так как оба вида затрат (расходы, связанные с ожиданием клиентов и расходы по мощности) часто отражают приблизительные величины (результаты оценки), то полученное решение может не представлять собой действительно оптимальный вариант. Следовательно, когда вычисления проводятся с точностью до пенни или даже до доллара, то полученные в результате сложные показатели могут показаться точнее, чем они есть на самом деле. Следует всегда помнить о приблизительности оценок и расчетов. Кроме того, нормативы прибытия и обслуживания тоже могут быть величинами приблизительными или же не точно соответствующими распределению Пуассона/экспоненциальному. Необходимо помнить также и о том, что оценка затрат бывает выражена в определенном диапазоне показателей (например, стоимость ожидания клиентов оценивается в диапазоне от $40 до $50 в час). В этом случае общие расходы рассчитываются для обеих границ диапазона. Если выявляются расхождения в полученных показателях, то менеджер должен решить, стоит ли ему затрачивать дополнительные усилия на получение более точных оценок по расходам, или же достаточно выбрать одно из двух полученных оптимальных решений. Последнее будет оправдано в том случае, если расхождение в оптимальных показателях невелико.

ПРИМЕР 6

В рабочие часы грузовики прибывают на склад в среднем по 15 в час. Грузчики разгружают 5 грузовиков в час. Высокое время разгрузки вызвано структурой 1 грузов (контейнеры). Изменения в оплате труда грузчиков заставили начальника I склада пересмотреть вопрос о том, сколько бригад грузчиков следует исполь-J зовать на складе. Новая стоимость труда бригады грузчиков - $100 в час; сто-} имость ожидания грузовиков и водителей - $120 в час.

J Решение:

j Из таблицы 17-4 для Х/ц = 15/5 = 3,0 наход\лм Lq

Размер бригад

Стоимость труда грузчиков($)

Среднее число а системе

Lx$120

Стоимость ожидания грузовиков ($)

Общие расходы ($)

400 500 600 700

1,5284-3,0=4,528 0,354+3,0=3,354 0,099+3,0=3,099 0,028+3,0=3,028

543,36 402,48 371,88 363,36

943,36 902,48(минимум 971,88 1.063,36