Класс W+1=W часов

1 0,147+1=1,147

2 0,442+ 1= 1,442

3 1,765+ 1=2,765

Г. Среднее число единиц, ожидающих в каждом классе, Lk = х Wk. Таким образом, мы получаем:

Класс - единиц

1 2(0,147)= 0,294

2 2(0,442)= 0,884

3 1(1,765)= 1,765

Пересмотр приоритетов. Если руководству предприятия кажется, что время ожидания, рассчитанное в примере 8, слишком продолжительное (например, 0,147 часа - это слишком долго для инструментов из первой приоритетной группы), то возможно несколько вариантов решения. Один из них - увеличить число каналов. Другой - попытаться увеличить темпы обслуживания - скажем, с помощью передовых технологий. Если ни один из этих методов неприемлем, то можно пересмотреть состав приоритетных групп, например, перевести некоторые заказы из первой группы во вторую. Это снизит среднее время ожидания элементов первой группы - просто потому, что снизится темп прибытия этих элементов в систему.

ПРИМЕР 9

Руководитель ремонтного цеха проконсультировался с руководителями отделе-I НИИ предприятия, которые пользуются ремонтными услугами. После этого он I пересмотрел список инструментов из высшей приоритетной группы. Это вырази-1 лось в пересмотренных темпах прибытия элементов в систему. Предположим,

Ii что темпы прибытия: А,1 = 1,5; 2 = 2.5; А-з остается неизменным и равным 1,0. Определите следующее: 1 а. Загрузку системы.

1 б. Среднее время ожидания инструментов в каждой приоритетной группе. Решение:

> = X= 1.5 + 2,5 + 1,0 = 5,0

1 М = 6 ц = 1

Обратите внимание, что эти показатели точно те же, что в предыдущем примере.

I а. р = 5,0/6(1)= 0,833 -то же, что в предыдущем примере

б. Значение А остается тем же, что и в предыдущем примере, потому что не изменились определяющие его показатели. Следовательно, А == 10,19 и

Во = 1 (всегда)

Б. = 1- = 0,75

I /\ X Б, X Вг 10,19x0,667 x0,333

j 3 = д X Вз X Вз 10,19x0,333x0,167

I в. Среднее время в системе= Wk = 1/ц. В этом случае 1/= 1/1= 1. Таким образом,

I мы получаем:

1,5 + 2,5+1,0

, ез = 1--бП-= 0,167

I Тогда

10,19(1)(0,75) !

10,19(0,75X0,333)

i; Щ = .г. .r.,i,r. -rcz. = 0,131 часа

W2 = г. чп.г. -7:.г. ооол = 0,393 4303

3 = 10,19(0,зк)(0,167) = -

Пример 9 предлагает некоторые интересные результаты. Один из них: при снижении темпов прибытия элементов высшей приоритетной группы уменьшилось и среднее время ожидания для элементов этой группы. Другими словами, перемещая некоторые элементы высшего класса в более низкий, мы снижаем среднее время ожидания для элементов, оставшихся в высшем классе. Обратите внимание, что среднее время ожидания для второй приоритетной группы тоже сократилось, хотя в нее и были добавлены дополнительные элементы. Хотя это и не очевидно на первый взгляд, но необходимо признать, что общее время ожидания (когда принимаются во внимание все прибывшие в систему клиенты) остается неизменным. Мы можем увидеть это, обратив внимание на среднее число ожидающих (см. пример 8, часть г): 0,294 + 0,884 + 1,765 = 2,943. В примере 9, используя рассчитанное среднее значение времени ожидания, определяем среднее число ожидающих по всем трем группам:

X/tf/t= 1=5(0,131)+ 2,5(0,393)+ 1,0(1,765) = 2,944 к=1

За исключением небольшой разницы, которая вызвана округлением, суммарные величины одинаковы.

Еще одним интересным наблюдением является то, что среднее время ожидания клиентов третьего приоритетного класса не изменилось. Причина этого в том, что общийтшп прибытия в систему элементов двух первых групп, а также темп прибытия элементов третьей группы, не изменились. Следовательно, элементы, назначенные в низшую приоритетную группу, имеют дело с прежним темпом прибытия (4) в двух высших классах.

Модели очередей: конечный поток

Модель конечного потока применяется в тех случаях, когда поток потенциальных клиентов ограничен сравнительно небольшой величиной. Например, рабочий может отвечать за ремонт 15 станков; таким образом, потенциальный поток его клиентов равен 15. Однако и в такой системе бывает более одного канала-например, при большом числе неисправного оборудования, ожидающего ремонта, менеджер может выделить дополнительного рабочего на проведение ремонтных работ.

Как и в моделях бесконечного потока, темпы прибытия описываются распределением Пуассона, а время обслуживания - экспоненциальным распределением. Основное отличие модели конечного потока от модели бесконечного потока - это зави-сгшосоть темпов прибытия клиентов от длины очереди; при увеличении длины очереди темпы прибытия снижаются - просто потому, что уменьшается доля клиентов, способных обратиться за обслуживанием (ввиду конечности потенциального потока).

Когда длина очереди равна потенциальному потоку, темп прибытия клиентов становится равен О, потому что больше некому прибывать.

Из-за сложности математического аппарата модели конечного потока на практике для анализа этих систем используются таблицы конечного потока совместно с упрощенными формулами. В таблице 17-6 приведены основные формулы и определения. Полезно изучить также график цикла, представленный в таблице.

Таблица 17-7 является сокращенной таблицей конечного потока. Она используется для определения значений D и F. (Величина F используется в большинстве формул.) Для использования таблицы конечного потока следуйте данному порядку действий:

1. Определите значения:

а. N - величины потока

б. М -числа каналов/единиц обслуживания

в. Т - среднего времени обслуживания

г. и - среднего времени между прибытием клиентов

2. Рассчитайте показатель обслуживания, Х= Т : (Т + U).

3. Определите раздел таблицы конечного потока для заданной N.

4. Используя в качестве основы значение X, определите значения D и F, соответствующие заданному М.

Используйте полученные значения N, М, X, D и F для определения необходимых показателей работы системы.

Таблица 17-6. Формулы и обозначения модели конечного потока

Формула

Обозначения

фактор обслуживания

Среднее число ожидающих

Среднее время ожидания

Среднее число исправных единиц

Среднее число клиентов в процессе обслуживания

Число потенциальных клиентов

Х = -

L = N{t -F)

- N-L XF J = NF(1 - X)

H = FNX N=J+L+H

(17-21)

(17-22)

(17-23)

(17-24)

(17-25)

(17-26)

D - вероятность того, что клиенту придется ждать обслуживания;

F -показатель эффективности: 1 - процент ожидающих в очереди;

Н - среднее число клиентов в процессе обслуживания;

J - среднее число клиентов не в очереди и не в процессе обслуживания;

L -среднее число клиентов, ожидающих обслуживания;

М - число каналов обслуживания;

N - число потенциальных клиентов;

Т -среднее время обслуживания;

и - среднее время между

прибытием, на каждого клиента;

W - среднее время ожидания в очереди;

X - показатель обслуживания.

i ПРИМЕР 10

I Оператор осуществляет загрузку и разгрузку группы оборудования из пяти единиц.

I Время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону со средним значени-

J ем 10 минут. Перед загрузкой и разгрузкой оборудование работает в течение 70

1 минут, причем это время также описывается экспоненциальным законом. Опреде-

I лиге:

1 а. Среднее число машин, ожидающих оператора,

j б. Предположительное число работающих машин.

I в. Среднее время простоя оборудования.

I г. Вероятность того, что единице оборудования не придется ждать обслуживания.