за 8 часов работы магазина поступает 3 заказа на ремонт оборудования (распределение Пуассона). Определите следующие показатели:

а. Среднее число клиентов, ожидающих мастера.

б. Загрузка системы.

в. Время в течение 8-часового рабочего дня, когда мастер не находится на выезде.

г. Вероятность нахождения в системе двух и более клиентов.

2. Автомат продает кофе и горячий шоколад. Время обслуживания постоянно и составляет 30 секунд на чашку. В среднем прибывает 80 клиентов в час, темп описывается распределением Пуассона. Определите следующие показатели:

а. Среднее число клиентов в очереди.

б. Среднее время пребывания клиента в системе.

в. Среднее число клиентов в системе.

3. По окончании нормального рабочего дня, многие клиенты банка пользуются автоматическим кассовым аппаратом. Летом темпы прибытия клиентов в банк в утренние часы -один человек в две минуты (распределение Пуассона). Каждый клиент проводит у аппарата в среднем 90 секунд. Время обслуживания подчиняется экспоненциальному распределению. Определите следующие показатели:

а. Среднее время пребывания клиента в системе (время ожидания и время обслуживания).

б. Вероятность того, что клиенту не придется ждать обслуживания.

в. Среднее число ожидающих.

4. В небольшом городке одна больница и две машины скорой помощи. Вызовы скорой помощи по выходным дням происходят в среднем по 0,8 в час и описываются распределением Пуассона. Дорога и время медицинской помощи занимают в среднем один час на каждого больного и описываются экспоненциальным распределением. Определите следующие показатели:

а. Загрузку системы.

б. Среднее число ожидающих.

в. Среднее время ожидания,

г. Вероятность того, что в момент поступления вызова обе машины будут на выезде,

5. Следующая таблица содержит информацию о работе телефонного коммутатора в мотеле по вторникам.

Период Темп поступления Темп обслуживвния Число

вызовов на (вызовы/мин на каждого операторов на коммутатор (ед./мин) оператора) коммутаторе

Утро 1,8 1,5 2

День 2,2 1,0 3

Вечер 1,4 0,7 3

а. Определите для каждого периода среднее время ожидания клиентом соединения и верояпюсть того, что клиенту придется ждать ответа,

б. Для каждого периода определите максимальную длину очереди с вероятностью 96%,

6. Для контроля массы груза грузовики должны проходить через взвешивание. В период между 19.00 и 21.00 грузовики прибывают на станцию взвешивания в среднем по 40 в час. В эти часы на станции дежурят два инспектора, каждый из которых может проверить 25 грузовиков в час.

а. Сколько грузовиков - включая и те, что находятся в процессе проверки, - вы предполагаете увидеть на станции?

б. Если грузовик только что прибыл на станцию, сколько времени он проведет на ней?

В. Какова вероятность того, что оба инспектора будут заняты одновременно?

г. В среднем, сколько времени придется грузовику ждать обслуживания?

д. Какой бы была ситуация при работе только одного инспектора?

е. Какова максимальная длина очереди, с вероятностью 0,97?

7. Отдел запчастей у дилера крупной автомобильной компании имеет специальный прилавок, который обслуживает только запросы на запчасти, сделанные механиками. Время между запросами может быть описано экспоненциальным распределением со средним значением 5 минут. Продавец может обслужить 15 запросов в час, темп обслуживания описан распределением Пуассона со средним значением 15. Предположим, за прилавком работают два продавца.

а. В среднем сколько механиков будет находиться в системе, включая обслуживаемых ?

б. Какова вероятность, что механику придется ждать обслуживания?

в. Если механику придется ждать, то каким будет средее время ожидания?

г. Каков процент времени простоя у обслуживающего персонала (у продавцов)?

д. Если стоимость труда продавца $20 в час, а механика - $30 в час, то какое число продавцов будет оптимальным, с точки зрения минимальных общих расходов?

8. Представительство компании по производству компьютеров обслуживает пять клиентов. Клиентам требуются технические услуги представительства в среднем один раз в четыре рабочих дня (распределение Пуассона). Компания может ответить в среднем на один вызов в день (распределение Пуассона). Определите:

а. Предполагаемое число клиентов, ожидающих обслуживания.

б. Среднее время с момента поступления запроса до завершения обслуживания.

в. Процент времени простоя системы.

г. На сколько уменьшится ваш ответ на вопрос а, если открыть второй подобный филиал?

9. Два оператора производят наладку в группе из 10 станков. Время наладки описывается экспоненциальным распределением со средним значением 14 минут на станок. Среднее вре.мя работы станка между наладками - 86 минут. Производительность станков при непрерывной работе - 50 изделий в час. Определите:

а. Вероятность того, что станку придется ждать обслуживания.

б. Среднее число станков, ожидающих наладки.

в. Среднее число станков, находящихся в процессе наладки.

г. Среднюю часовую производительность станка, с учетом времени наладки.

д. Стоимость простоя станка $70 в час; стоимость труда оператора $15 в час (с учетом оклада и премиальных). Определите оптимальное число операторов.

10. Один оператор обслуживает 5 станков. Время работы оборудования и время обслуживания описаны экспоненциальным распределением. Время работы станка между наладками - 90 минут, среднее время наладки - 35 минут. Оператор получает $20 за час работы плюс премиальные, стоимость простоя каждого станка $70 в час.

а. Если производительность каждого станка при непрерывной работе 60 единиц в час, определите фактический средний почасовой выпуск, с учетом времени обслуживания и ожидания.

б. Определите оптимальное число операторов.

11. В цеху работает 10 фрезерных станков. Каждый станок работает в среднем по 8 часов, после чего ему требуется наладка, которая занимает в среднем 2 часа. Производительность непрерывной работы станка - 40 единиц в час.

а. Какова фактическая производительность одного станка за час работы, если в цехе один наладчик?

б. Если стоимость простоя одного станка - $80 в час, а стоимость труда наладчика - $30 в час, то каким будет оптимальное число наладчиков?

12. Средний темп прибытия грузовиков на оптовую базу - 1,2 в час. Бригада из двух человек способна загрузить грузовик в среднем за 30 минут. Грузчики получают $10 в час плюс премиальные, стоимость работы грузовиков с водителями $60 в час. Менеджер обдумывает возможность увеличить бригаду грузчиков на одного человека. Темпы обслуживания составят при этом 2,4 грузовика в час. Все темпы описаны распределением Пуассона.

а. Будет ли экономически оправдано увеличение состава бригады грузчиков до трех человек?

б. Будет ли оправдано увеличение состава бригады до четырех человек, если в результате этого темпы обслуживания составят 2,6 грузовиков в час?

13. Прибывающие в сервисный центр клиенты распределяются по трем категориям, из которых высший приоритет имеет категория 1. По регистрационным данным, в среднем каждый час прибывает девять клиентов, и они поровну распределяются между категориями. В системе работают два канала обслуживания; каждый из них может обслужить пять клиентов в час. Темпы прибытия и обслуживания описываются распределением Пуассона.

а. Какова загрузка системы?

б. Определите среднее время ожидания для каждой категории.

в. Определите среднее число ожидающих в каждой категории.

14. Менеджер должен определить размеры площади, отведенной для ожидания клиентов. Клиентов обслуживает система различного порядка очередности. Клиенты распределяются по двум приоритетным классам. Первый приоритетный класс характеризуется темпом прибытия 4 в час; второй - 2 в час. Прибытия описаны распределением Пуассона. В системе работает два канала. Каждый обслуживает клиента в среднем за шесть минут.

а. Какова загрузка системы?

б. Для каждого класса определите число клиентов, ожидающих обслуживания.

в. Определите среднее время ожидания для каждого класса.

г. Если менеджер сможет изменить порядок распределения клиентов по классам так, что темпы прибытия клиентов обоих классов будут равны, то каким будет среднее время ожидания для каждого класса?

15. Система множественных приоритетов распределяет клиентов по четырем приоритетным группам. Темпы прибытия клиентов каждой группы приведены в таблице. Распределение Пуассона.

Группа Число прибытий в час

Обслуживанием занято три канала, каждый из которых может обслужить трех клиентов в час.

а. Какова загрузка системы?

б. Каково среднее время ожидания для каждой группы? Каково среднее число ожидающих в каждой группе?

в. Если темпы прибытия клиентов второй приоритетной группы снизить до трех в час, переведя некоторых клиентов в третий класс, то как изменятся ваши ответы на вопрос 61

г. Какие выводы вы можете сделать, основываясь на ответах на вопрос е?