значения в каждой строке на значения опорной строки, начиная с резервного столбца и далее слева направо. Уходящая переменная соответствует наименьшему отношению в первом столбце с неравными отношениями.

в. Образовать новую опорную строку следующей таблицы: разделить каждое число в строке уходящей переменной на значения опорной строки. Введите эти значения в следующую таблицу в тех же самых позициях строки.

г. Вычислить новые значения для оставшихся строк ограничений: для каждой строки, умножьте значения в новой опорной строке на значение опорной строки ограничения, и вычтите результат, столбец за столбцом, из первоначальных значений строки. Введите их в новую таблицу на те же самые позиции, что и в первоначальной строке.

д. Вычислите значения для строк Z и C-Z .

е. Проверьте, есть ли в строке C-Z положительные значения; если есть, то повторите пункты 2а - 2е. Если нет, то мы получили оптимальное решение.

Задачи минимизации

Симплексный метод обрабатывает задачи минимизации практически тем же способом, что и задачи максимизации. Однако имеются некоторые различия. Это - потребность давать поправку на ограничения типа >, которые требуют введения как искусственных переменных, так и резервных переменных. Этот фактор обуславливает широкое применение ручных решений. Второе существенное различие - проверка на оптимум: решение оптимально, если строка C-Z не содержит отрицательных значений.

ПРИМЕР 3

Решите следующую задачу для количеств и xg, которые минимизируют затраты. Минимизировать: Z=]2xi+10x2 Ограничения: X]-i-4x2>8

Зх]-н2х2>6 х Х2>0

Решение:

1. Перепишем ограничения в нужной форме:

х. -н 4x2 > 8 становится х., -н 4X3 - Is., - OSg -н la., -н Оа = 8 Зх. -н 2x2 > 6 становится Эх., -н 2X3 - Osl - ISj + Оа -н lag = 6

2. Перепишем целевую функцию (коэффициенты в строке С): 12х -н 10x2 -I- Os + + 999а + 999а2

3. Вычислим значения для строк Z и C-Z.

4. Составим начальную таблицу. (Обратите внимание, что начальное решение содержит все искусственные переменные.)

999 999

Найдем входящую переменную (самое большое отрицательное значение C-Z: столбец Xg) и уходящую переменную (меньшее из 8/4 = 2 и 6/2 = 3; следовательно, строка а.).

Разделим каждое число в уходящей строке на опорное значение (4, в данном случае), чтобы получить опорную строку второй таблицы:

1/4, 4/4=1, -1/4, 0/4, 1/4, 0/4, 8/4=2

Вычислим значения для других строк; а:

Количество

Текущее значение 3

-2 х(новый опорный ряд) -2/4 Новый ряд 10/4

8. Вычислим новую строку Z:

2 О -2 2/4 О +2/4

-10 16

-0/4 -2/4 -0/4 -4 -1

-2/4

9. Вычислим строку C-Z:

10. Составим вторую таблицу:

ill- Повторим процедуру:

а. Проверим оптимальность: если строка C-Z содержит отрицательные элементы - оптимум не достигнут.

б. Определим переменную ввода: наибольшее отрицательное значение в столбце х. I

в. Определим переменную выхода: 2/(1/4) = 8, 2/(10/4) = 0,8. Следовательно, i это--строка I

г. Найдем новое значение опорной строки, используя опорное значение 10/4 1

1 О 0,2 -0,4 -0,2 0,4 0,8

д. Определим значения для новой строки х:

О 1 -0,3 0,1 0,3 -0,1 1,8

е. Определим новые значения для строки Z;

Ряд Зат- Кол- раты X, Sj aj во

Xg 10 10(0) 10(1) 10(-0,3) 10(0,1) 10(0,3) 10(-0,1) 10(1,8)

X, 12 12(1) 12(0) 12(0,2) 12(-0,4) 12(-0,2) 12(0,4) 12(0,8)

Z 12 10 -0,6 -3,8 0,6 3,8 27.6

Ж. Определим значения для строки C-Z:

3. Составим следующую таблицу. Поскольку среди значений C-Z нет отрицательных, решение оптимально. Следовательно, х., = 0,8, х2 = 1,8 и минимальные затраты-27,60.

чнализ чувствительности

асто случается, что принимающий производственные решения руководитель хочет юлучить нечто большее, чем сиюминутное решение проблемы. Он может получить юльшую и многообразную пользу из анализа чувствительности решения. При подго- овке задачи к решению методом линейного программирования, менеджер может давать субъективные оценки некоторым параметрам (например, коэффициентам огра-мчений, коэффициентам целевой функции и значениям правой части в уравнениях граничений). Вполне естественно, что он хочет знать: насколько чувствительным яв-1яется оптимальное решение к изменениям в значении одного или нескольких таких параметров. Если решение относительно устойчиво к разумным изменениям, то ме-чеджер может чувствовать себя достаточно уверенно, осуществляя свои решения на трактике. Наоборот, если решение чувствительно к подобным изменениям, то менед-ер несомненно захочет получить более точную оценку подозрительных параметров.

Вторая возможная польза от анализа чувствительности касается специфических 1зменений в параметрах. Например, изменение цен может изменить коэффициент в селевой функции. Аналогично, изменение в производственном процессе может потребовать изменения коэффициента при одном из ограничений. И здесь анализ чувствительности может обеспечить менеджера необходимыми данными.