б. Максимизировать: Z = 6А + ЗВ (доход) Ограничения:

Материал 20А + 5В < 600 фунтов Оборудование 25А + 20В < 1 ООО часов Труд 20А + ЗОВ < 1200 часов

А,В>0

2. Решите данные задачи, используя графический метод линейного программирс вания, а затем ответьте на вопросы. Используйте одновременные уравнени) чтобы определить оптимальные значения переменных.

а. Минимизировать: Z = I,80S + 2,20Т Ограничения:

Калий 5S+8T>200r

Углеводы 15S + 6T>240r

Белок 4S + 12T>180r

Т Т>10г.

S,T>0

б. Минимизировать: Z = 2x1+ 3x2 Ограничения:

А 4x1 + 2x2 > 20

Б 2x1 + 6x2 > 18

В 1x1 + 2x2 < 12

Х1,Х2>0

(1) Каковы оптимальные значения xi, Х2 и Z?

(2) Имеет ли какое-либо ограничение (отличное от нуля) резерв?Если да, то какое это ограничение и какова величина резерва?

(3) И меет какое-либо ограничение (отличное от нуля) избыток? Если да, то какое это ограничение и какова величина избытка?

(4) Имеются ли избыточные ограничения?Если да, то какие?Кратко поясните.

3. Производитель бытовых электроприборов производит две модели микроволновых печей: Н и W. Изготовление каждой модели включает в себя процесс изготовления и сборки деталей; каждая единица модели Н требует четырех часов изготовления деталей и двух часов сборки, модель W - два часа и шесть часов, соответственно. В неделю компания имеет 600 часов иа изготовление и 480 часов на сборку. Каждое изделие модели И дает $40 прибыли, а модели W-$30 прибыли. В какой пропорции производство моделей Н и W будет обеспечивать максимальную прибыль?

4. Небольшой кондитерский магазин готовится к периоду школьных каникул. Владелец магазина должен решить, сколько пакетиков особой смеси и сколько пакетиков обычной смеси из орехов и изюма Peanut/Raisin Delite необходимо приготовить к продаже. Особая смесь содержит 2/3 фунта изюма и 1/3 фунта орехов, а стандартная смесь - 1/2 фунта изюма и 1/2 фунта орехов на один пакетик. В магазине имеется в наличии 90 фунтов изюма и 60 фунтов орехов.

Орехи стоят $0,60 за фунт, а изюм $1,50 за фунт. Особая смесь будет продаваться по $2,90 за фунт, а стандартная смесь - $2,55 за фунт. Владелец магазина рассчитывает продать не более 110 пакетиков одного типа.

а. Если цель состоит в максимизации прибыли, то сколько пакетиков каждого типа следует подготовить?

б. Какой ожидается прибыль?

5. Фирма производит части из лито го железа. Изготовление требует трех основных операций: отливка, обточка и сверление. Доступное время в неделю для отливки - 36000 минут; для обточки - 2250 минут; и для сверления - 3600 минут. Два изделия, X и У, требуют этих операций.

рйноерограммирование 285

Изделие X требует 80 минут для отливки, 2,5 минуты для обточки и 9 минут для сверления на одно изделие. Изделие У требует 60 минут для отливки, 4,5 минуты для обточки и 4 минуты для сверления на изделие. Каждое изделие X дает $4 прибыли, а каждое изделие У - $2. Какая комбинация изделий X и У будет максимизировать еженедельную прибыль?

6. Супружеская чета пенсионеров дополняет свой доход изготовлением фруктовых пирогов, которые они продают через небольшую бакалейную лавку. В сентябре они пекут пироги с виноградом и с яблоками. Пироги с яблоками продаются бакалейщику по $ 1,50, а пироги с виноградом - за $ 1,20. Все приготовленные пироги продаются, благодаря их высокому качеству. Они всегда используют только свежие продукты. Мука и сахар закупаются один раз в месяц. На сентябрь они имеют 1200 мер сахара и 2100 мер муки. Каждый яблочный пирог требует 1,5 меры сахара и 3 меры муки, а каждый виноградный пирог требует 2 меры сахара и 3 меры муки.

а. Определите число виноградных и яблочных пирогов, которое максимизирует прибыль, если эта пара вместе может изготовить яблочный пирог за шесть минут, а виноградный за три минуты. Они планируют работать не больше 60 часов.

б. Определите количество сахара, муки и времени, которое останется неиспользованным.

7. Каждую из следующих задач решите с использованием симплексного метода, а затем определите оптимальные значения для переменных: Z, х Xj, Х3, Sj, Sj, и Sj.

а. Максимизировать: 4x1 + 2x2+5x3 Ограничения:

1x1 + 2x2+ 1x3 < 25 1x1 + 4x2+2x3 < 40 3x1+3x2+ 1x3 < 30 XI, Х2, хз>0

б. Максимизировать: 10x1 + 6x2+3x3 Ограничения:

1x1 + 1x2+ 2хз<25 2x1 + 1x2+ 4x3 < 40 1x1 + 2x2+ 3x3 <40 XI, Х2, хз>0

8. Решите задачу 1 б с использованием симплексного метода и затем определите следующее:

а. Диапазон выполнимости для каждого ограничения.

б. Диапазон оптимальности или незначительности (тот из них, который применим в данном случае) для коэффициентов целевой функции. Объясните ваши результаты.

9. Решите задачу 3 симплексным методом и объясните ваш ответ. Затем:

а. Найдите диапазон выполнимости для каждого ограничения и поясните ваши ответы.

б.Определите диапазон незначительности или оптимальности для каждого коэффициента целевой функции. Объясните ваши результаты. 10. Повторите предшествующую процедуру для задачи 5. И. Даны следующие условия:

Максимизируйте Z= 10,50х+ 11,75у+ 10,80z Ограничения:

Раскрой 5х + 12у + 8z < 1400 мин Сшивание 7х + 9у + 9z< 1250 мин Обертывание 4х+ 3y+6z< 720 мин x,y,z>0

Продукт Розничная цена

Апельсиновый сок $1,00

Грейпфрутовый сок $0,90

Ананасовый сок $0,80

Коктейль $1,10

Коктейль содержит равныечасти апельсинового, грейпфрутового и ананасового соков. Каждый продукт расфасован в упаковки по одной кварте (четверть галлона - т.е. 1,136 литра). В наличии имеется 400 галлонов апельсинового сока, 300 галлонов грейпфрутового сока и 200 галлонов ананасового сока (1 галлон -4,5

а. Определите количество изделий х, у и z, которое максимизирует доход.

б. Выполните пункты (а) и (б) задачи 9 для данной задачи.

12. Небольшая компания производит три сходных изделия, процесс изготовления которых состоит из трех одинаковых этапов: фрезерование, проверка и сверле-ние. Изделие А требует 12 минут на фрезерование, 5 минут для проверки и Ю минут на сверление для каждой единицы изделия; изделие В требует соответственно 10 минут, 4 минуты и 8 минут; изделие С требует 8 минут, 4 минуты и Ig минут соответственно. На ближайший период компания располагает следующим количеством рабочих часов: 20 часов на фрезерование, 15 часов на проверку и 24 часа на сверление. Изделие А дает $2,40 прибыли на единицу товара, В --$2,50 и С -$3,00. Используйте симплексный метод, чтобы определить оптимальное соотношение производства изделий, с точки зрения максимизации прибыли за данный период. Затем найдите диапазон оптимальности или незначительности (тот из них, который будет применим) для коэффициента прибыли каждой переменной.

13. Используйте симплексный метод для решения следующих задач:

а. Минимизировать: Z = 21x1 + 18x2 Ограничения:

(1) 5x1+ 10х2>100

(2) 2x1+ 1x2 > 10

Х1,х2>0

б. Минимизировать: Z = 2x+5y + 3z Ограничения:

(1) 16х+ 10у+ 18z>340

(2) 11х+ 12у+ 13z>300

(3) 2х+ 6у+ 5z>120

X, y,z>0

14. Определить, какая комбинация переменных х Xj, Х3 и х необходима для максимизации прибыли в данной ЛП модели:

Максимизируйте: Z = 34х] + 18x2 + 27x3 + 40х Ограничения:

Труд х, + Х2+Хз + Х4<4000

Изделие 4 Х4>500

Оборудование 2х + Х2+ ЗХ3 < 4200

Материал А 4x2+ Зх4<2000

Материал В х,+ Х2+ 2х4<2300

х Х2,Хз,Х4>0

15. Запишите формулы (но не решайте) модели для линейного программирования следующей задачи, которую можно использовать, чтобы определить, сколько упаковок каждого изделия надо произвести завтра, чтобы максимизировать прибыль. Компания делает четыре вида продукта, используя апельсиновый, грейпф-рутовый и ананасовый соки.