ГЛАВА 2

Математические основы фишшсового менеджмента

Четкое представление о базовых понятиях финансовой математики необходимо для понимания всего последующего материала. Главное из таких понятий - процентные деньги (далее - проценты), определение которых составляет сущность большинства финансовых расчетов.

Проценты - это доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т. д.), либо от инвестиций производственного или финансового характера.

Процентная ставка - это величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.

Величина получаемого дохода (т. е. процентов) определяется исходя из величины вкладываемого капитала, срока, на который он предоставляется в долг или инвестируется, размера и вида процентной ставки (ставки доходности).

Наращение (рост) первоначальной суммы долга - это увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов (дохода).

Множитель (коэффициент) наращения - это величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления - это промежуток времени, за который начисляются проценты (получается доход). В дальнейшем будем полагать, что период начисления совпадает со сроком, на который предоставляются деньги. Период начисления может разбиваться на интервалы начисления.

Интервал начисления - это минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Существуют две концепции и, соответственно, два способа определения и начисления процентов.

Декурсивный способ начисления процентов. Проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала. Соответственно декурсивная процентная ставка, или, что то же, ссудный процент, представляет собой выраженное в процентах отно-

шение суммы начисленного за опреде/генный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.

Антисипативный способ (предварительный) начисления процентов. Проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентной ставкой будет выраженное в процентах отношение сулшы дохода, вытачиваемого за определенный интервал, к величине наращенной сулшы, полученной по прошествии этого UHmepecLia. Определяемая таким способом процентная ставка называется (в широком смысле слова) учетной ставкой или антисипативным процентом.

В мировой практике декурсивный способ начисления процентов получил наибольшее распространение. В странах развитой рыночной экономики антисипативный метод начисления процентов применялся, как правило, в периоды высокой инфляции.

При обоих способах начисления процентов процентные ставки могут бьггь либо простыми (если они применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления), либо сложными (если по прошествии каждого интервала начисления они применяются к сумме долга и начисленных за предьщущие интервалы процентов).

\J В российской практике понятия ссудного процента и учетной ставки обычно не различаются и обозначаются собирательным термином процентная ставка (термин учетная ставка можно также встретить применительно к ставке рефинансирования Центрального банка и к вексельным операциям).

В связи с этим необходимо подчеркнуть, что по мере развития рыночных отношений вопрос различия декурсивного и антисипативного методов начисления приобретает все большую актуальность.

Финансисту - инвестору ли (вкладчику), заемщику ли средств - в любом случае необходимо иметь представление о способе начисления процентов, подразумеваемом в каждой конкретной сделке, тем более, что при укрупнении масштабов операции каждый процерггный пункт становится все тяжелее и тяжелее .

В последующих разделах будут приведены вычисления и даны примеры и графики, наглядно демонстрирующие, сколь ощути-a.Iми могут быть различия в результатах при разных способах начисления процентов. Непонимание различия между видами

процентных ставок может при этом вылиться не только в упущенную выгоду, но и в значительные убытки.

2.1. Простые ставки ссудных процентов

Простые ставки ссудных (декурсивных) процентов применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления (и составляет, как правило, срок менее одного года), или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Естественно, простые ставки ссудных процентов могут применяться и в любых других случаях по договоренности участвующих в операции сторон.

Введем следующие обозначения: / (%) - простая годовая ставка ссудного процента; / - относительная величина годовой ставки процентов; /г - сумма процентных денег, выплачиваемых за год; / - общая сумма процентных денег за весь период начисления;

Р - величина первоначальной денежной суммы; S - наращенная сумма;

- коэффициент наращения; п - продолжительность периода начисления в годах; д - продолжительность периода начисления в днях; К - продолжительность года в днях.

Величина К является временной базой для расчета процентов.

В зависимости от способа определения продолжительности финансовой оперции рассчитывается либо точный, либо обыкновенный (коммерческий) процент.

Дата вьщачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день. При этом возможны два варианта:

вариант Г. используется точное число дней ссуды, определяемое по специальной таблице, где показаны порядковые номера каждого дня года; из номера, соответствующего дню окончания займа, вычитают номер первого дня;

вариант 2: берется приблизительное число дней ссуды, когда продолжительность полного месяца принимается равной 30 дням; этот метод используется, котда не требуется большая точность, например, при частичном погашении займа.

Точный процент получают, когда за временную базу берут фактическое число дней в году (Зб5 или 366) и точное число дней ссудьь

Приведенным выше определениям соответствуют формулы:

Применяя последовательно формулы (1.4), (1.3), (1.2) и (1.6), получаем основную формулу для определения наращенной суммы*:

S=P{i + m), (1.7)

(1.8)

На практике часто возникает обратная задача: узнать величину суммы Р, которая в будущем должна составить заданную величину 5. В этом случае Р называется современной (текущей, настоящей**, приведенной) величиной суммы S.

Определение современной величины Р наращенной суммы S называется дисконтированием, а определение величины наращенной суммы S - компаундингом.

В применении к ставке ссудного процента может также встретиться название математическое дисконтирование, несовместимое, кстати товоря, с учетными ставками, которые будут рассматриваться в следующем разделе.

Из формулы (1.7) получаем формулу, соответствующую операции дисконтирования:

* В литературе нередко можно встретить синонимы тер\шна наращенная сумма : будущая сумма , будущая стоимость денег (от англ. РиШге Value of Money) и т. п.

** От англ. Present Value of Money. , ,

1 + ni

(1-9)

Преобразуя формулу (1.7) (т. е. заменяя входящие в нее выражения на эквивалентные и выражая одни величины через другие), получаем еще несколько формул для определения неизвестных величин в различных случаях:

Иногда на разных интервалах начисления применяются разные процентные ставки. Если на последовательных интервалах начисления И], 2, /V используются ставки процентов /], /уу то по формулам (1.2) и (1.3) сумма процентных денег в конце первого интервала составит

в конце второго интервала:

/2 = Р 22

и т. д.

При N интервалах начисления наращейная сумма составит

5=/(I+Х гг).,: , (1.14)

, Для множитеед даращения, следовател4!1и?, имеем ,

= 1 + Х гг- (1.15)

Рассмотрим несколько примеров, соответствующих различным наборам исходных данных.

Пример 1

Ссуда в размере 50 ООО руб. вьщана на полгода по простой ставке процентов 28% годовых. Определить наращенную сумму. Решение

По формуле (1.7)

5 = 50 ООО (1 + 0,5 0,28) = 57 ООО (руб.).

Пример 2

Кредит в размере 10 ООО ООО руб. вьщан 2 марта до И декабря под 30% годовых, год високосный. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов (обыкновенного и точного) расчета процентов.

Решение

1. В случае точных процентов берем д = 284. По формуле (1.8) получаем

5=10 ООО ООО (1 + 284/366 0,30) = 12 327 868 (руб.).

2. Для обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды имеем

5=10 ООО ООО (1 + 284/360 0,30) = 12 366 666 (руб.). ,

3. Для обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды {д = 280) по формуле (1.8) получаем

5=10 ООО ООО (И-280/360 0,30) = 12 333 333 (руб.).

Пример 3

Кредит в размере 20 ООО ООО руб. вьщается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год - 30%, а за каждое последующее полугодие она уменьщается на 1%. Определить множитель наращения и наращенную сумму.

Решение

По формуле (1.15):

= 1 + 0,3 + 0,5 (0,29 + 0,28 -Ь 0,27 + 0,26 + 0,25) = 1,975. По формуле (1.14):

5 = 20 ООО ООО 1,975 = 39 500 ООО (руб.).

Пример 4

Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 25 ООО ООО руб. вырастет до 40 ООО ООО руб., если используется простая ставка процентов 28% годовых.

Решение

По формуле (1.10) получаем

и = (40 ООО ООО - 25 ООО 000)/(25 ООО ООО 0,28) = 2,14 года. Пример 5

Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 24 ООО ООО руб. достигнет 30 ООО ООО руб. через год.

Решение

По формуле (1.13) определяем / = (30 ООО ООО - 24 ООО 000)/(24 ООО ООО 1) = 0,25 = 25%.