если = а (доходность вложений и уровень инфляции равны), то = О, т. е. весь доход поглощается инфляцией;

если < а (доходность вложений ниже уровня инфляции), то < О, т. е. операция приносит убыток;

если ig > а (доходность вложений вьпие уровня инфляции), то гс > О, т. е. происходит реальный прирост вложенного капитала.

Пример 22

Кредит в размере 50 ООО ООО руб. вьщан на два года. Реальная доходность операции должна составить 10% годовых по сложной ставке ссудного процента. Ожидаемый уровень инфляции составляет 15% в год. Определить множитель наращения, сложную ставку процентов, учитывающую инфляцию, и наращенную сумму.

Решение

По формуле (6.3) получаем

/ = (1 + 0,15)2= J 3225

Множитель наращения и номинальная ставка доходности равны:

/: .с = (1 + 0,1)2. 1,3225 = 1,6; = (1 + 0,1) 21,3225 - 1 = 0,265 = 26,5%. Далее для наращенной суммы получаем

5= 50 000 000(1 + 0,265)2 = 80 011 250 (руб.). ,

Пример 23

Первоначальный капитал в размере 20 ООО ООО руб. вьщается на три года, проценты начисляются в конце каждого квартала по номинальной ставке 8% годовых. Определить номинальную ставку процентов и наращенную сумму с учетом инфляции, если ожидаемый годовой уровень инфляции составляет 12%.

Решение

Воспользуемся формулой (6.3): :8(>

4 = (1 + 0,12)3 = 1,4. )птХ.

По формуле (6.9) имеем

Ja = [(1 + 0,08/4) VM - 1] 4 = 0,107 = 10,7%. Отсюда

S=20 ООО ООО (1 + 0,107/4)2 = 27 454 048 (руб.). Пример 24

При вьщаче кредита должна быть обеспечена реальная доходность операции, определяемая учетной ставкой 5% годовых. Кре-

дит вьщается на полгода, за которые предполагаемый индекс инфляции составит 1,06. Рассчитать значение учетной ставки, компенсирующей потери от инфляции. Решение

Производим вычисления по формуле (6.7):

4, = (1,06-1 + 0,5 0,05)/(1,06 . 0,5) = 0,16 = 16%.

Пример 25

Определить реальную доходность финансовой операции, если при уровне инфляции 0,9% в месяц вьщается кредит на два года по номинальной ставке сложных процентов 15% годовых. Проценты начисляются ежеквартально.

Решение

Принимая заданную номинальную процентную ставку за ставку, учитывающую инфляцию, получим из формулы (6.9) соотно-щение для определения реальной номинальной ставки сложных процентов: -

(6.15)

По формуле (6.4):

= (1 + 0,009)2 = (1,009) = l,027

,3ч8

Отсюда

У= [0,15 + 4(1 - 1,027)]/1,027 = 0,038 = 3,8%. Пример 26

Определить, какой реальной убыгочностью обладает финансовая операция, если при уровне инфляции 14% в год капитал вкладывается на один год под номинальную ставку 8% при ежемесячном начислении.

Решение

Находим сначала индекс инфляции:

/и = 1 + 0,14 = 1,14. Далее используем формулу (6.15):

J= [0,08 + 12(1 - VU4 )]/ %fri4 = -0,051 = -5,1%. Таким образом, данная операция будет приносить 5,1%-ный убыток.

2.7. Аннуитеты

В большинстве современных коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или, наоборот, выплат) в течение определенного периода. Это может быть серия доходов и расходов некоторого предприятия, вьшлата задолженностей, регулярные или нерегулярные взносы для создания разного рода фондов и т. д. Такая последовательность называется потоком платежей.

Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).

Теория аннуитетов является важнейшей частью финансовой математики. Она применяется при рассмотрении вопросов доходности ценных бумаг, в инвестиционном анализе и т. д. Наиболее распространенные примеры аннуитета: регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам.

Аннуитеты различаются между собой следующими основными характеристиками:

величиной каждого отдельного платежа;

интервалом времени между двумя последовательными платежами (периодом аннуитета);

сроком от начала аннуитета до конца его последнего периода (бываюти неограниченные по времени - вечные аннуитеты);

процентной ставкой, применяемой при наращении или дисконтировании платежей.

Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов, носит название аннуитета пренуме-рандо; если же платежи осуществляются в конце интервалов, мы получаем аннуитет постнумерандо (обыкновенный аннуитет) -пожалуй, самый распространенный случай.

Наибольший интерес с практической точки зрения представляют аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (постоянные аннуитеты), либо изменяются в соответствии с некоторой закономерностью. Именно такие аннуитеты мы и изучим в дальнейшем.

Введем следующие обозначения; Р - величина каждого отдельного платежа; ic - сложная процентная ставка, по которой начисляются проценты;

Sk - наращенная сумма для -го платежа аннуитета постнумерандо;

S - наращенная (будущая) сумма всего аннуитета постнумерандо (т. е. сумма всех платежей с процентами);

Ак - современная величина -го платежа аннуитета постнумерандо;

А - современная величина всего аннуитета постнумерандо

(т. е. сумма современных величин всех платежей); Sn - наращенная сумма аннуитета пренумерандо; An - современная величина аннуитета пренумерандо; п - число платежей.

Рассмотрим аннуитет постнумерандо с ежегодными платежами Ръ течение п лет, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке (рис. 5).

Рис. 5. Будущая стоимость аннуитета постнумерандо

Сумма S для первого платежа, проценты на который будут начисляться, очевидно, (п - I) раз, составит по формуле (3.1):

S = P(l + i,) -\

Для второго платежа (проценты на него будут начисляться на Один год меньше) имеем

52 = / (1 + д-2

и так далее. На последний платеж, произведенный в конце л-го года, проценты уже не начисляются, т. е.

S =P

Тогда для общей наращенной суммы имеем

S=j;,Sj=pf{l + icr = Pkin ;=1 ;=1

(7.1)

Д /,й - коэффициент наращения аннуитета с параметрами /, п - представляет собой, как можно заметить, сумму членов геометрической прогрессии, для которой первый член а, равен 1, а знаменатель (назовем его q) составляет (1 -I- /).

Используя математическую формулу для суммы членов геометрической прогрессии:

запищем выражение (7.1) в более удобном для вычислений виде:

= Р. (7.2)

Для коэффициента наращения, соответственно, имеем

, (1 + - 1 . .......Кп =-J- : (7.3)

Найдем теперь современную величину А данного аннуитета (рис. 6).

Рис. 6. Современная величин аннуитета постнумерандо

- . .-л U-

При заданной процентной ставке современное значение каждого платежа будет определяться по формуле:

(!+

Современная величина всего аннуитета, следавательно, соста-

(1 + /с)

J.дe д. - коэффициент приведения аннуитета, опять является сулшбй геометрической прогрессии, теперь уже с параметрами а = д= 1/(1 + д. Тогда для а,- получаем выражение:

/л =

1+/,

1-(1+U

1+/.

-- 1

для современной величины А соответственно

А= Р

1 - (1 + if

(7.4)

(7.5)

Как видим, современная величина и наращенная сумма аннуитета связаны между собой соотнощением:

S=A(\ + if. (7.6)

Из полученных формул путем преобразований легко получить еще несколько формул. Так, для определения размера очередного платежа (Р) имеем

рА ,.....(77)

\п (1 +() - 1 ., ,

P = J- =- (7.8)

с;, 1 - (1 + g Для определения срока аннуитета (и), при прочих заданных ус-

ловиях, получаем

1п[(У(,+ 1] In (1 + ic)

in[i-(/i/g~

(7.9)

(7.10)

In (1 + /,)

Для конкретных вычислений выбирается одна из двух формул каждой пары в зависимости от заданных известных величин.

Рассмотрим далее аннуитет пренумерандо с теми же начальными условиями (рис. 7).

Очевидно, отличие от предьщущего случая состоит здесь в том, что период начисления процентов на каждый платеж увеличива-