Обозначим через aiq период отсрочки. Тогда на момент начала выплаты, сумма долга которая должна являться современной величиной нового аннуитета, составит по формуле сложного процента:

Ai=A{l+ifo. Отсюда получаем уравнение эквивалентности:

Pi[i-ii + = P[i-{i + g- ] (1 -ь 0.

Далее поступаем аналогично рассмотренным ранее случаям. В первом варианте находим значение л продолжительности нового аннуитета при заданном значении Pi = Р (л] будет найдено приближенно, поэтому потребуется выплата компенсирующей суммы, см. пример 28). Во втором - величину платежа при л] = = л - Ло-

6. В некоторых случаях может потребоваться объединение нескольких аннуитетов в один (консолидация аннуитетов). При этом объединяемые аннуитеты могут быть любыми, а в искомом объединяющем аннуитете один из параметров неизвестен при всех остальных заданных.

Пример 29

Два аннуитета с параметра.ми:

1) величина платежа - 2 ООО ам, долл., процентная ставка - 5% годовых, срок - 12 лет;

2) величина платежа - 3 500 ам. долл., процентная ставка - 6% годовых, срок - 10 лет;

требуется заменить одним - со сроком 10 лет и процентной ставкой 6% годовых.

Определить величину нового платежа.

Решение

Найдем сначала общую современную величину двух аннуитетов. По формуле (7.5) имеем

Л= Л, +/l2 = 2 000[l-(l+0,05) 2]/0,05 + Г.

+ 3 500 [1 - (1 + 0,06)-°]/0,06 =

= 17 726,5 + 25 760,3 = 43 486,8 (ам. долл.).

Далее по формуле (7.7) находим величину нового платежа:

Р= 43 486,8 0,06/[1 - (1 + 0,06)-0] = 5 930 (ам. долл.).

Нам остается теперь рассмотреть важное практическое приложение теории аннуитетов - составление различных вариантов (планов) погашения задолженности. При составлении плана по-

гашения интерес представляют размеры периодических платежей 3aeNauHKa - выплаты процентов и вьшлаты по погашению основной суммы долга - при различных условиях погашения (такие платежи носят название срочных уплат).

Основных вариантов погашения задолженности - пять:

1. Займы без обязательного погашения, по которым постоянно выплачиваются проценты. Задача в данном случае заключается в нахождении размера вьшлачиваемой суммы Р при заданной процентной ставке /. Мы имеем здесь случай вечного аннуитета. Размер платежа определяется по формуле (7.15), из которой получаем

P=Aic.

2. Погашение долга в один срок

Если заемщик должен вернуть всю сумму долга в конце срока, целесообразным бывает создание погасительного (амортизационного) фонда, для чего периодически вносятся определенные суммы, на которые начисляются проценты.

/Л Если процентная ставка, под которую вносятся средства, не превышает размеров ставки, под которую выдается заем, создание погасительного фонда не имеет смысла. Выгоднее сразу расплачиваться этими суммами с кредитором.

Введем обозначения:

D - основная сумма долга (без процентов); ic - ставка процента по займу; / - процент по займу; Р - размер взноса в погасительный фонд; g - ставка, по которой начисляются проценты нй взносы в фонд;

Y - величина срочной уплаты; п - срок займа.

Найдем величюгу срочной уплаты У и ее составляющих (Y =

= /+ Р).

По определению/= Z)/с.

Сумма, накопленная в погасительном фонде за п лет, т. е. наращенная сумма аннуитета с параметрами Р, п, g, должна составить величину D. По формуле (7.2) получаем

, D=P[{l+g) - l]/g. ,

Отсюда ; . , .

, P=Dg/[(l +gr- 1].

Значит, в данном случае величина срочной уплаты определяется формулой:

Y=Di,+ Dg/m +gr-l]. (7.23)

Если проценты не выплачиваются, а присоединяются к основной сумме долга, то срочная уплата будет состоять только из взносов в погасительный фонд.

Общая сумма долга составит по формуле (3.1) величину D (I + if, откуда получаем

Y= p-D(i +ic) g/[(\ +g) -1].

3. Погашение долга равными суммами

Пусть долг погашается в течение п лет равными суммами, а проценты периодически выплачиваются. Тогда на погашение постоянно идут платежи размером D/n, а процентные выплаты ежегодно сокращаются, так как уменьщается основная сумма долга. Обозначим

Dk - сумма долга после А:-го года: /к - процентная выплата за к-й год. Тогда

Di = D - D/n= D(l -1/л); I\ = Die, . . . : .

Y\ = Dic + D/n Ha конец второго года получаем D2 = D\- D/n-= D(\ -2/n); h = D{\- \/ri) ic ; Г2 = О (1 - 1/я) ic + D/n, и T. д. Для определения размера срочной уплату ,процентного платежа после к-то года получаем

Dk= D{\-к/п); .

1к = D[\-ik-l)/n]ic;

Yk = D[\- {к -l)/rt] ic + D/n. , л;

На конец срока, т. е. -го года имеем

0(1 -Я/Я) = 0; -г чу.,;., ,:

Yn = D[l-(n -\)/п] ic + D/n= 0(1 + ic)/n. Видно, что самые большие суммы приходится платить в начале периода погащения, что может в большинстве случаев расцениваться как недостаток этого метода погашения задолженности. 4. Погашение долга с использованием постоянных срочных уплат Пусть займ величиной D, вьаданный под сложную годовую процентную ставку погашается в течение п лет равными срочными уплатами Y = I + Р. Понятно, что со временем составляющая / 128

(проценты по займу) будет уменьшаться, так как уменьшается основная сумма задолженности. Соответственно, составляющая Р (сумма, идущая на погашение займа) будет увеличиваться.

Выведем формулы для расчета суммы процентных денег и суммы на погашение долга на конец -го года.

Периодическая выплата постоянной суммы Y при заданной процентной ставке if. в течение п лет является аннуитетом с соответствующими параметрами.

Поэтому величина срочной уплаты определяется по формуле

(7.9):

У= D/ai,n {ai,n - коэффициент приведения ренты). Обозначив через сумму, идущую на погашение займа в конце k-xQ года, запишем следующие соотношения:

1) 4 + Рк 4+1 + Рк+\

2) D/,= D;.i-Р;

3) 4 = 0 1 4 откуда 0-1 = Ik/i,;

4) 4+1 = -Otc. откуда = 4+1 Ас-Под ставляя выражения 3) и 4) в соотношение 2), получим

4+1 Ас = Vc - Ph откуда 4+1 = Ik- Ркh , Перепишем выражение 1), используя последнее равенство: 1к+Рк = h-Pkic+Рк+\,

откуда получаем

Рк+\ = Pki + Q = P\i\ + h)-

Так как /j = Z) 4 для Р\ получаем

Р, = D/ai -Di,= D{\/a, -i,). Следовательно,

P,= D{\/a, -i,){l + i/-K

Отсюда

DkD-PtD- Dil/a - g X (1 +

= z)-o(iA,-, -g

(i + g-1

Далее получаем

4 = o , i, = Di, - D (i/fl,- - g[(i + g- -1].

Когда займ погашается постоянными срочными уплатами, их величина может быть заранее задана, и тогда возникает задача определения периода погашения долга п. Вопрос определения срока аннуитета рассматривался ранее в связи с конверсией ан-

нуитетов. При этом для выполнения принципа эквивалентности необходимо бьшо доплатить недостающую сумму (возникающую в результате округления полученного п) в начале периода погаще-ния. Вместо этого возможно также небольшое изменение размера срочных уплат.

Рассмотрим для прояснения ситуации пример.

Пример 30

Займ в размере 12 ООО ам. долл. вьщан под сложную процентную ставку 4% годовых. Определить продолжительность периода погащения, если заемщик собирается выплачивать ежегодно по 1 500 ам. долл. Составить график погашения долга.

Решение

Рассчитаем сначала коэффициент приведения аннуитета : = А/Р = 12 ООО ам. долл./1 500 ам. долл. = 8.

По таблице определим приблизительно п, соответствующее данному коэффициенту и процентной ставке 4%. Так как л = 10 соответствует коэффициент 04 io= 8,11, возьмем л = 9 и рассчитаем для этого срока и современной величины А= 12 ООО ам. долл. новое значение платежа Р. Используем для этого формулу (7.8), находя значение коэффициента приведения по таблице 4 Приложения 2.

Р = А/а = 12 ООО ам. долл./7,435 = 1 614 ам. долл.

Составим теперь график погашения долга, в который должны входить процентные выплаты, расходы по погашению долга, остаток долга на конец каждого года.

Используя выведенные ранее формулы, находим искомые значения:

Небольшое расхождение в остатке долга на конец 8-го года и сумме последней выплаты на погашение происходит из-за округления некоторых значений предьщущих сумм.

5. Погашение долга с использованием переменных срочных уплат

Во многих случаях предпочтительнее оказывается погашение долга с использованием переменных срочных уплат. Срочные уплаты могут изменяться в соответствии с некоторой закономерностью или задаваться графиком погашения.

Рассмотрим случай, когда последовательность срочных уплат представляет собой арифметическую прогрессию с заданной разницей h. При сроке погашения п и процентной ставке i, используя формулу (7.20), находим величину срочной уплаты Р:

P=[Ai,+ n h/(\ +/,) - h aij/[i, fl,. ] исходя из которой разрабатывается план погашения долга.

6. На практике часто встречается случай, когда заранее задаются размеры всех срочных уплат, кроме последней, определяемой величиной остатка долга на начало последнего периода (см. пример 31).

Пример 31

Долг в размере 10 ООО ам. долл. требуегся погасить за пять лет, размеры срочных уплат в первые четыре года - 2 ООО ам. долл., 2 ООО ам. долл., 4 000 ам. долл., 1 500 ам. долл. Найти величину последней уплаты, если процентная ставка составляет 5% годовых.

Решение

Разработаем план погашения долга.

Проценты за первый год составляют

Ц = D /с =10 ООО 0,05 = 500 (ам. долл.).

Отсюда

Pi = Ti - /] = 1 500 ам. долл.; Z), = D - Р, = 8 ООО ам. долл.