Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

[ 1 ] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292

транспортные модели

Первые формальные разработки по исследованию операций (ИО) были инициированы в Англии во время Второй мировой войны, когда команда британских ученых сформулировала и нашла решение задачи наиболее эффективной доставки военного снаряжения на фронт. После окончания войны эти идеи были перенесены в гражданскую сферу для повышения эффективности и продуктивности экономической и производственной деятельности. Сегодня теория исследования операций является основным и неотъемлемым инструментом при принятии решений в самых разнообразных областях человеческой деятельности.

Краеугольным камнем исследования операций является математическое моделирование. Хотя данные, полученные в процессе исследования математических моделей, являются основой для принятия решений, окончательный выбор обычно делается с учетом многих других нематериальных (не имеющих числового выражения) факторов (таких как человеческое поведение), которые невозможно отобразить в математических моделях.

1.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

Предположим, что в соответствии с деловыми обязательствами вам необходимо в течение пяти недель пять раз посетить город В (а живете вы в городе А). Вы должны быть в городе В в понедельник первой недели и окончательно возвратиться в город А в среду пятой недели. Билет из города А в город В и обратно стоит 400 долл., однако вы можете получить 20% скидки от стоимости билетов, если вылет придется на конец недели. Кроме того, следует учесть, что стоимость билета только в одну сторону равна 75% от стоимости заказного билета. Вы, естественно, хотите минимизировать стоимость перелетов. Как это сделать?

Описанную ситуацию можно рассматривать как задачу принятия решений, где для поиска оптимального решения требуется определить три основных компонента.

1. Что в данном случае считать альтернативными решениями?

2. Каким ограничениям должно удовлетворять возможное решение?

3. По какому критерию должны отбираться альтернативные решения?

В нашей задаче возможны следующие альтернативы.

1. Покупка пяти заказных билетов А-В-А (т.е. из города А в город В и обратно).

2. Покупка одного билета в одну сторону А-В, четырех билетов А-В-А, захватывающих конец недели, и одного однонаправленного билета В-А.



3. Покупка билета А-В-А для первой недели, причем между датами вылетов должен быть понедельник; для последней недели приобретение билета А-В-А, между датами которого должна быть среда, причем первый и последний билеты должны захватывать последние дни недели; покупка четырех билетов А-В-А, между датами которых также есть последние дни недели.

Ограничением в данной задаче являются дни прибытия: понедельник первой недели и среда пятой.

В данном случае естественным критерием для оценки возможных альтернатив является цена билетов. Альтернатива, обеспечивающая наименьшую стоимость билетов, будет наилучшей. В данном случае имеем следующие варианты.

Альтернатива 1: стоимость билетов = 5 х 400 = 2000 долл.

Альтернатива 2: стоимость билетов = 0,75 х 400 + 4 х 0,8 х 400 + 0,75 х 400 = = 1800 долл.

Альтернатива 3: стоимость билетов = 5 х (0,8 х 400) = 1600 долл. Очевидно, что наилучшей является третья альтернатива.

Приведенный пример показывает основные принципиальные составляющие модели исследования операций (ИО), а именно альтернативы, ограничения и критерий отбора альтернатив. Но в различных ситуациях эти составляющие могут весьма отличаться от аналогичных составляющих других моделей. Чтобы показать это, рассмотрим следующую задачу. Среди всех прямоугольников с периметром фиксированной длины L необходимо найти прямоугольник максимальной площади. Какую длину и ширину будет иметь такой прямоугольник?

В отличие от предыдущего примера здесь количество альтернатив бесконечно, поскольку длина и ширина прямоугольника могут принимать бесконечное множество значений (но из конечного интервала). Чтобы это свойство задачи выразить формально, определим возможные альтернативы, задав непрерывные переменные, соответствующие длине и ширине прямоугольника.

Итак, обозначим через / длину прямоугольника, через w - его ширину. Основываясь на этих обозначениях, ограничения задачи можно сформулировать следующим образом.

1. Ширина прямоугольника + длина прямоугольника = половина периметра прямоугольника.

2. Ширина и длина прямоугольника не могут быть отрицательными. Эти ограничения алгебраически запишутся так.

1. 2(l + w) = L.

2. l>0,w>0.

Теперь осталось не забыть о цели нашей задачи - максимизировать площадь прямоугольника. Обозначив площадь прямоугольника через г, окончательную математическую модель можно записать следующим образом.

Максимизировать г - lw

при ограничениях

2(1 + w) = L. l,w>0.

Оптимальным решением данной задачи будет w = 1 = L/4, т.е. среди прямоугольни-ов с фиксированным периметром максимальную площадь будет иметь квадрат.



1.1. Математические модели исследования операций

Два приведенных примера демонстрируют различия моделей ИО. В общем случае первым шагом в построении таких моделей является определение альтернатив, или переменных решения. Далее переменные решения используются для создания целевой функции и ограничений модели. Законченную типичную математическую модель ИО схематически можно представить следующим образом.

Максимизация или минимизация целевой функции при условии выполнения ограничений.

Решение задачи называется допустимым, если оно удовлетворяет всем ограничениям модели. Решение будет оптимальным, если, кроме того, что оно допустимо, целевая функция при этом решении достигает оптимального (максимального или минимального) значения. В примере с билетами задача имела три допустимых альтернативы и оптимальное решение предоставляла третья альтернатива. В примере с прямоугольником допустимое решение должно удовлетворять условию I + w = L/2 с неотрицательными значениями Iviw. Это приводит к бесконечному множеству допустимых решений, поэтому здесь, в отличие от примера с билетами, для поиска оптимального решения необходимо привлекать соответствующие математические средства (в данном случае - средства дифференциального исчисления).

В моделях ИО понятие оптимальности решений определяется с учетом соответствия этого решения множеству ограничений. Это означает, что качество конечного решения, сделанного на основе решения задачи, зависит от адекватности представления моделью реальной ситуации, которую она формально описывает посредством ограничений. Например, если в примере с билетами нам не были бы известны все варианты покупки билетов (точнее, скидки на билеты), то, скорее всего, оптимальным было бы другое решение. Если исключить из модели третью альтернативу, тогда оптимальным решением будет второй вариант, при котором следует заплатить за билеты 1880 долл. Такое решение будет условно оптимальным (или локально оптимальным) для реальной ситуации. Таким образом, конкретное оптимальное решение является наилучшим только для этой модели. Чем модель лучше отображает реальную ситуацию, тем ближе решение этой задачи к оптимальному.

УПРАЖНЕНИЯ 1.1

1. В примере с билетами определите четвертую возможную альтернативу.

2. В примере с прямоугольником найдите два допустимых решения и определите, какое из них лучше (т.е. какое решение задает прямоугольник с большей площадью).

3. Найдите оптимальное решение задачи о площади прямоугольника. (Совет. С помощью ограничений преобразуйте целевую функцию к функции, зависящей от одной переменной. Затем примените методы дифференциального исчисления.)

4. Крис, Джим, Джон и Келли находятся на восточном берегу реки и хотят переправиться на западный берег с помощью каноэ. Каноэ может вместить не более двух человек. Крис, как наиболее сильный из всех своих друзей, может переправиться через реку за 1 минуту. У Джима, Джона и Келли на это уйдет соответственно 2, 5 и 10 минут. Если в каноэ находятся два человека, то время переправы определяется по слабейшему пассажиру. Цель друзей заключается в переправе на западный берег реки по возможности за минимальное время.

a) Найдите не менее двух возможных схем переправы через реку.

b) Определите критерий оценки альтернатив.

c) Какое минимальное время переправы через реку всех друзей?



[ 1 ] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292