в нашей модели зафиксировано значение коэффициента с2 (пусть с2 = 4), то интер-

1 с 6

вал оптимальности для коэффициента с. получаем из неравенств - < -<- путем

2 с, 4

подстановки туда значения с2 = 4. После выполнения элементарных арифметических операций получаем неравенства для коэффициента ct: 2<с1<6. Аналогично, если зафиксировать значение коэффициента с, (например, ct = 5), то из неравенств

Рис. 2.5. Интервал оптимальности для модели Reddy Mikks

УПРАЖНЕНИЯ 2.3.1

1. Определите графически интервал оптимальности для отношения с,/с2 в следующих задачах; отдельно рассмотрите случаи, когда коэффициенты с5 и с2 могут обращаться в нуль.

a) Максимизировать z = 2хх + Зх2 при выполнении условий

Зх1 + 2х2<6, -х1 + х2<0, xv х2>0.

b) Максимизировать z = бх, + Зх2 при выполнении условий

Зх, + 2х2 < 6,

х, - х2 < О, х х2>0.

с) Максимизировать 2 = х, + х2 при выполнении условий

-х, +х2<0, Зх, -х2<3, х х2>0.

2. В задаче диеты из примера 2.2.2:

a) определите интервал оптимальности для отношения стоимости фунта кукурузной муки к стоимости фунта соевой муки;

b) если стоимость фунта кукурузной муки увеличится на 20%, а стоимость фунта соевой уменьшится на 5%, то будет ли в этом случае оптимальным ранее найденное решение?

c) если стоимость фунта кукурузной муки останется фиксированной (30 центов), а стоимость фунта соевой муки возрастет до 1,10 долл., то останется ли оптимальным ранее найденное решение?

3. Магазин В&К продает два вида безалкогольных напитков: колу А1 известного производителя и колу В&К собственного производства. Доход от одной банки колы А1 составляет 5 центов, тогда как доход от одной банки собственной колы - 7 центов. В среднем магазин за день продает не более 500 банок обоих напитков. Несмотря на то что А1 - известная торговая марка, покупатели предпочитают колу В&К, поскольку она значительно дешевле. Подсчитано, что объемы продаж колы В&К и А1 (в натуральном исчислении) должны соотноситься не менее 2:1. Кроме того, известно, что магазин продает не менее 100 банок колы А1 в день.

a) Сколько банок каждого напитка должен иметь магазин в начале рабочего дня для максимизации дохода?

b) Определите соотношение доходов от напитков А1 и В&К, при котором сохраняется оптимальное решение, найденное на предыдущем этапе.

4. Мебельная фабрика для сборки столов и стульев привлекает к работе на 10 дней четырех столяров. Каждый столяр тратит 2 часа на сборку стола и 30 минут - на сборку стула. Покупатели обычно приобретают вместе со столом от четырех до шести стульев. Доход от одного стола составляет 135 долл. и 50 долл. - от одного стула. На фабрике установлен 8-часовой рабочий день.

a) Определите графически структуру производства (на 10 рабочих дней), которая максимизировала бы суммарный доход.

b) Определите для найденного решения интервал оптимальности для отношения доходов на единицу продукции.

c) Изменится ли найденное выше оптимальное решение, если доходность изготовления столов и стульев уменьшится на 10% ?

d) Изменится ли найденное выше оптимальное решение, если доходность изготовления столов и стульев составит соответственно 120 и 25 долл. на единицу продукции?

5. Банк Elkins в течение нескольких месяцев планирует вложить до 200 000 долл. в кредитование частных лиц (клиентов) и покупок автомобилей. Банковские комиссионные составляют 14% при кредитовании частных

лиц и 12% при кредитовании покупок автомобилей. Оба типа кредитов возвращаются в конце годичного периода кредитования. Известно, что около 3% клиентских и 2% автомобильных кредитов никогда не возвращаются. В этом банке объемы кредитов на покупку автомобилей обычно более чем в два раза превышают объемы других кредитов для частных лиц.

a) Найдите оптимальное размещение средств по двум описанным видам кредитования и определите коэффициент возврата по всем кредитам.

b) Определите интервал оптимальности для отношения процентных ставок по двум видам кредитов для найденного на предыдущем шаге оптимального решения.

c) Предположим, что невозврат кредитов составит 4 и 3 % для кредитов частных лиц и кредитов на покупку автомобилей соответственно. Изменится ли при этом оптимальное решение, полученное выше?

6. Завод Electra производит два типа электрических двигателей, каждый на отдельной сборочной линии. Производительность этих линий составляет 600 и 750 двигателей в день. Двигатель первого типа использует 10 единиц некоего комплектующего, а двигатель второго типа - 8 единиц этого же компонента. Поставщик может обеспечить на день 8000 единиц этих деталей. Доходность изготовления двигателя первого типа составляет 60, второго - 40 долл.

a) Определите оптимальную структуру ежедневного производства двигателей.

b) Найдите интервал оптимальности для отношения доходности двигателей.

7. Консервный завод Рореуе перерабатывает за смену 60 000 фунтов спелых помидоров (7 пенсов за фунт) в томатный сок и пасту. Готовая продукция пакетируется в упаковки по 24 банки. Производство одной банки сока требует одного фунта спелых помидоров, а одной банки пасты - трети фунта. Заводской склад может принять за смену только 2 000 упаковок сока и 6 000 упаковок пасты. Оптовая цена одной упаковки томатного сока составляет 18 долл., одной упаковки томатной пасты - 9 долл.

a) Определите оптимальную структуру производства консервного завода.

b) Найдите отношение оптовых цен на продукцию завода, при котором заводу будет выгоднее производить больше томатной пасты, чем сока.

8. Мебельная фабрика собирает из готовых комплектующих два вида кухонных шкафов: обычные и дорогие. Обычный шкаф покрывается белой краской, а дорогой - лаком. Покраска и покрытие лаком производятся на одном производственном покрасочном участке. Сборочная линия фабрики ежедневно может собирать не более 200 обычных шкафов и 150 дорогих. Лакирование одного дорогого шкафа требует вдвое больше времени, чем покраска одного простого. Если покрасочный участок занят только лакированием дорогих шкафов, то за день здесь можно подготовить 180 таких шкафов. Фабрика оценивает доход от обычных и дорогих кухонных шкафов в 100 и 140 долл. соответственно.

a) Сформулируйте задачу линейного программирования и составьте оптимальное ежедневное расписание работы покрасочного участка.

b) Предположим, что в результате конкуренции доход от производства одного обычного шкафа снизился до 80 долл., а дорогого - до 110 долл. Используя анализ чувствительности, определите, будет ли в этой ситуации решение, полученное на предыдущем этапе, оптимальным.