Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 [ 108 ] 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292

Таким образом, переменная х\ вводится в базис (со значением 1,25), из которого

исключается переменная дс, с ненулевым значением, равным ее верхней границе. Применяем подстановку xt = 4 - х\ и получаем следующую симплекс-таблицу.

Базис

Решение

109/2

-1/2

-5/2

Далее в базис вводится переменная

х и исключается х\

, что приводит к следующей

симплекс-таблиц

Базис

Решение

223/4

1/2

-1/4

-3/4

-1/4

Данная таблица представляет допустимое оптимальное решение. Оптимальные значения переменных х1У хг и х3 получаем обратной подстановкой: дс, = их - х\ =4-0 = 4, хг = и2 - х2 = 3 - 5/4 = 7/4 и х3 = 0. Теперь вычисляем значение переменной у: у = 12 + х2=7 + 7/4 = 35/4. Оптимальное значение целевой функции равно z = 223/4.

УПРАЖНЕНИЯ 7.3.1

1. Дана следующая задача линейного программирования.

Максимизировать z = 2xt + х2

при ограничениях

х1 + х2<3, 0 < х, < 2, 0 < х2 < 2.

a) Решите задачу графическим способом и определите последовательность крайних точек пространства решений, ведущих к оптимальному решению.

b) Решите задачу с использованием метода решения задач с ограниченными переменными и покажите, что данный метод порождает ту же последовательность крайних точек пространства решений, приводящую к оптимальному решению, что и графический способ.

c) Как алгоритм решения задач с ограниченными переменными распознает крайние точки пространства решений?

2. Решите следующую задачу ЛП методом решения задач с ограниченными переменными.

Максимизировать z = бя, + 2х2 + 8х3 + 4xt + 2xs + 10х6 при ограничениях

8jc, + х2 + 8х3 + 2xt + 2хъ + 4х6 < 13, 0<x<l,j = l,2, ...,6.



3. Решите следующие задачи ЛП методом решения задач с ограниченными переменными.

a) Минимизировать z = бдс, - 2х2 - Зх3 при ограничениях

2xt + 4х2 + 2х, < 8, х1-2х2 + 3х3<7, О < х, < 2, 0 < х2 < 2, 0 < х3 < 1.

b) Максимизировать z = Зхх + Ъх2 + 2х3 при ограничениях

х1 + 2х2 + 2х3<ю,

2х, + 4х2 + 3х3< 15, О < х, < 4, 0 < х2 < 3, 0 < х3 < 3.

4. В следующих задачах некоторые переменные имеют положительные нижние границы. Решите эти задачи методом решения задач с ограниченными переменными.

a) Максимизировать z = 3*, + 2х2 - 2х3 при ограничениях

2х1 + х2 + х3 < 8, х, + 2х2 - х3 > 3, хЗ, 0<х2<3, 2<х3.

b) Максимизировать z = xl + 2х2 при ограничениях

-Xj + 2х2>0, Зх, +2х2< 10, -х, + х2< 1, lxe.Oxl.

c) Максимизировать z = 4х, + 2х2 + 6х3 при ограничениях

4х, - х2 < 9, -х, +х2 + 2х3<8, -Зх1 + х2 + 4х3<12, 1<х,<3,0<х2<5, 0<х3<2.

5. Рассмотрим матричное представление задачи с ограниченными переменными. Разобьем вектор X на две части (Хг, Хц), где элементами вектора Хц являются переменные, к которым в процессе выполнения алгоритма будет применена подстановка, эквивалентная их верхнему пределу. Тогда задачу ЛП с ограниченными переменными можно записать следующим образом.

f 7

1 -с; -с,Л

0 D, D.



Пусть В (и Хв) - базисное решение текущей симплексной итерации, полученное после подстановки Хц = U - Хи, где U - подмножество элементов вектора значений верхних границ U, соответствующего переменным Хц. Покажите, что в данном случае симплекс-таблица имеет следующий вид.

Базис

Решение

CSB 1DZ-CZ

- СвВ 1Du + Си

CsB-1 ь + с иц

B 1D;

-в-1ои

В 1 Ь

Здесь b = b - DUUU.

6. В задаче из примера 7.3.1 выполните следующее.

a) На этапе итерации 1, используя матричные представления, проверьте, что Хв = (х4, х1)г = (5/2,3/2)г.

b) На этапе итерации 2 покажите, как на основе исходных данных задачи можно вычислить В 1. Затем, используя матричные представления, проверьте вычисленные в примере значения переменных xt и х,.

7. Решите задачу из упражнения 3.1 с помощью модифицированного (использующего матричные представления) симплекс-метода.

8. Двойственный симплекс-метод решения задач с ограниченными переменными. Двойственный симплекс-метод (раздел 4.4) также можно модифицировать для учета явных ограничений, налагаемых на переменные. Для этого после подстановок xt = u;- xt (uj - верхняя граница переменной х-, если uf

бесконечна, заменяем ее достаточно большим положительным числом М) исходная задача записывается в двойственной форме. Далее выполняются следующие действия.

Шаг 1. Если значение какой-либо базисной переменной (Хв), превышает ее верхнюю границу, выполняем замену (ХД = (UB), - (Х6)..

Шаг 2. Если базисное решение допустимо, вычисления заканчиваются.

В противном случае среди базисных переменных определяем исключаемую из базиса переменную хг как имеющую наибольшее отрицательное значение.

Шаг 3. В соответствии с условием оптимальности двойственного симплекс-метода определяем вводимую в базис переменную.

Шаг 4. Выполняем пересчет базиса. Переходим к шагу 1.

Примените описанный алгоритм к следующим задачам.

а) Минимизировать г = -Зхг - 2хг + 2х3

при ограничениях

2х, + х2 + х3 < 8, -х1 + 2х2 + х3>13, 0<х,<2, 0<х2<3, 0<х3<1.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 [ 108 ] 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292