1. Налоговые поступления должны составить не менее 16 миллионов долларов от всех баз налогообложения.

2. Налог с розничных продаж не может превышать 10% от суммы всех собираемых налогов.

3. Налог с оптовых продаж не может превышать 20% от суммы всех налогов.

4. Налог на бензин не может превышать 2 центов за галлон.

Обозначим через хн, хр и хо ставки налогов (выраженные десятичными дробями) на недвижимость, розничную и оптовую торговлю соответственно, а через хв - налог на бензин, выраженный в центах на галлон. Пожелания городского совета можно записать следующим образом.

550ад + 35хр + 55л0 + 0,075х > 16 (суммарные налоговые поступления) 35хр < 0,1(550хи + 35лр + 55х0 + 0,075* ) (налог на розничную торговлю) 55хс < 0,2(550хн + 35хр + 55хо + 0,075х ) (налог на оптовую торговлю) хе < 2 (налог на бензин) * > V л- , х6 > 0.

После упрощения получаем три ограничения.

550х + 35хр + 55х0 + 0,075хб > 16, 55х - 31,5дгр + 5,5л: + 0,0075* > 0, 110лг + 7хр - 44* + 0,015дг9 > 0. хб<2,

* > х , х0, хб > 0.

Каждое из этих неравенств представляет одну из целей городского совета, которую желательно добиться. Но эти цели могут конфликтовать друг с другом, и в лучшем случае мы можем попытаться достичь какого-нибудь компромиссного решения.

Способ, которым в целевом программировании достигается компромиссное решение, заключается в следующем. Сначала каждое неравенство преобразуется в частную задачу, в рамках которой можно удовлетворить данное ограничение. В нашем случае эти частные задачи записываются так:

ЬЪ0хн + ЗЪхр + ЬЬх0 + 0,075хе + 5,+ - j = 16, 55x - 31,5хр + 5,5х0 + 0,0075х + - s; = 0, 110х + 7хр - 44хо + 0,015хв + s$ - s3 = 0. хб + s* - s; = 2, xH,xp,xo,xe>0, s*, s~ >0, i=l,2, 3,4.

Неотрицательные переменные s* и s7 называются отклоняющими, поскольку они

показывают отклонение значений левых частей ограничений от соответствующих величин правых частей этих же ограничений.

Отклоняющие переменные и s. зависимы по определению, поэтому они обе одновременно не могут быть базисными. Это означает, что на любом этапе решения задачи одним из симплексных методов только одна из пары отклоняющих переменных может принимать положительное значение. Если исходное i-e ограничение является неравенством типа < и s* > О, то это ограничение выполняется. Если же

s. > О, то данное ограничение не выполняется. Таким образом, определенные значения отклоняющих переменных s* и j~ либо соответствуют i-e ограничению, либо

нет. Это та гибкость, которая позволяет целевому программированию достичь компромиссного решения. Естественно, хорошее компромиссное решение минимизирует число невыполняемых ограничений.

В нашем примере первые три ограничения являются неравенствами типа > , а четвертое- неравенством типа < . Вследствие этого положительные значения отклоняющих переменных s,+, s2, s3* и s4 будут указывать на то, что соответствующие ограничения не выполняются. Поэтому ведется поиск такого компромиссного решения, которое будет удовлетворять по возможности большему числу следующих частных целей (целевых функций).

Минимизировать G, = Минимизировать G2 - s2* Минимизировать G3 = s* Минимизировать Gt = s~

Как оптимизировать модель, имеющую несколько конфликтующих целевых функций? Для этого разработано множество разнообразных методов. В данной главе рассмотрим, во-первых, метод весовых коэффициентов и, во-вторых, метод приоритетов. Оба метода основаны на приведении множества частных целевых функций к одной целевой функции.

УПРАЖНЕНИЯ 8.1

1. Сформулируйте заново задачу о налогах из примера 8.1.1, предполагая, что городской совет определил дополнительное ограничение, которое заключается в том, что поступления от налога на бензин должны составлять не менее 10% от общих налоговых поступлений.

2. Руководство супермаркета планирует провести несколько специальных мероприятий для привлечения потенциальных покупателей. Два основных (наиболее популярных) мероприятия - эстрадный концерт и выставка искусств и ремесел - посещают практически все слои населения, которые менеджеры супермаркета условно разбивают по трем возрастным группам: ти-нэйджеры (подростковая группа), группа среднего возраста (сюда вошла и молодежь, вышедшая из подросткового возраста) и старшая возрастная группа. Стоимость одного концерта и одной выставки составляет 1 500 и 3 ООО долл. соответственно. Общий годовой бюджет этих мероприятий не должен превышать 15 ООО долл. Менеджеры супермаркета оценивают посещаемость своих мероприятий следующим образом.

Руководство супермаркета желает, чтобы их мероприятия посетило не менее 1000 подростков, 1200 людей из средней возрастной группы и не менее 800 потенциальных покупателей старшего возраста. Сформулируйте модель целевого программирования.

3. Университет Озарк проводит прием студентов. Всех поступающих можно разбить на три категории: жители данного штата, приезжие из других штатов и поступающие из других стран. Соотношения между мужчинами и женщинами среди поступающих данного штата и других штатов равны соответственно 1 : 1 и 3 : 2. Для международных студентов это соотношение составляет 8:1. При зачислении студентов на первый курс одним из основных факторов, влияющих на зачисление, является средний балл ACT (American College Test - Американский тест для поступающих в колледж). Статистика, накопленная университетом, свидетельствует, что средний балл ACT равен 27, 26 и 23 соответственно для поступающих данного штата, других штатов и других стран. Приемная комиссия университета при приеме первокурсников желает добиться следующего.

a) На первый курс желательно принять не менее 1200 студентов.

b) Средний балл ACT всех первокурсников должен быть не ниже 25.

c) Студенты-неамериканцы должны составлять не менее 10% от всего количества первокурсников.

d) Отношение количества женщин и мужчин желательно не менее 3 : 4.

e) Среди всех принятых на первый курс жители других штатов должны составлять не менее 20%.

Сформулируйте данную проблему как модель целевого программирования.

4. Птицефабрика ежедневно потребляет 3 тонны специальных кормов. Кормовая смесь состоит из известняка, зерна и соевой муки и должна удовлетворять требованиям рационального питания:

кальций - не менее 0,8 и не более 1,2%,

белок - не менее 22%,

клетчатка - не более 5% .

В следующей таблице приведен состав ингредиентов кормовой смеси.

Сформулируйте модель целевого программирования. Как вы думаете, стоит ли в данной ситуации применять модель целевого программирования?