Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 [ 135 ] 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292

Так как в этом примере г, хх и х2 должны быть целочисленными и все они на данный момент имеют дробные значения в оптимальной симплекс-таблице, любое из трех уравнений можно использовать в качестве производящей строки для построения отсечения. Выберем (произвольно) для этой цели z-уравнение.

Z+ 22 ХЪ + 22*4 = 2 (пРоизводяЩая z-строка).

Для построения дробного отсечения каждый из нецелочисленных коэффициентов раскладывается на целую и дробную части при условии, что дробная часть является строго положительной. Например,

Разложение коэффициентов производящей z-строки приводит к следующему уравнению.

При переносе всех целочисленных слагаемых в левую часть уравнения, а всех дробных слагаемых в правую часть получаем следующее.

z + 2V*4-66 = l-g*3-£*4.

Поскольку все переменные в рассматриваемой задаче принимают целочисленные значения, левая часть последнего уравнения должна быть целочисленной, откуда следует, что и правая часть также должна принимать целые значения. Перепишем ее следующим образом.

i-lir -S-r =1 2 22 3 22 4 2

- \22*3 + 22 4/

Поскольку х3, xt > О, выражение в скобках является неотрицательным. Поэтому величина \-хг -£*4 > будучи целочисленной, не может превышать 1/2. Следовательно, необходимое условие целочисленности можно записать следующим образом.

i-iix --2-х <0 2 22 3 22 4-и

Это и есть дробное отсечение, порожденное z-строкой. Нетрудно убедиться, что ранее найденное оптимальное непрерывное решение хх = 4,5, х2 = 3,5, х3 = О, х4 = 0 не удовлетворяет отсечению. Действительно, так как х3 = xt = О, отсечение не удовлетворяется (оно приводит к неравенству 1/2 <0). Следовательно, если мы присоединим отсечение к конечной симплекс-таблице, то оптимальное решение новой симплекс-таблицы будет двигаться в направлении выполнения ограничения целочисленности. Можно таким же образом построить отсечение, исходя из производящей л-строки или лг2-строки. Рассмотрим сначала jCj-строку. Имеем

Xi~22X3 + 22ХА = 4 2 (пРоизволяЩая *f строка). Операция разложения приводит к уравнению

ч+(-,+ёМ0+4К-К)-

Соответствующим отсечением является

21 .. 3 ... 1



Аналогично

*2 + z2x3 + 22Х4 = 3 2 (пРоизв°Дя1Чая *УстРока) записывается в виде

v(0+i)v(0+Ata=(3+2-)-

Следовательно, в данном случае отсечение имеет вид

--х --х + - <0 22*3 22 4 + 2

Любое из трех отсечений может быть использовано на первой итерации метода отсекающих плоскостей. Поэтому нет необходимости строить все три отсечения перед выбором одного из них.

Выбирая (произвольно) отсечение, порожденное х2-строкой, записываем его следующим образом.

~г\ХЪ~22ХА + $\=~2 51 ~° (отсечение

Это ограничение добавляется в качестве дополнительного в оптимальную симплекс-таблицу задачи.

Базис

Решение

63/22

31/22

66,5

7/22

1/22

-1/22

3/22

-7/22

-1/22

-0,5

Таблица представляет оптимальное, но недопустимое решение. Для восстановления допустимости решения применим двойственный симплекс-метод (см. раздел 4.4), что приведет к следующей симплекс-таблице.

Базис

Решение

-1/7

-22/7

Из-за дробных значений переменных х, и х3 последнее решение все еще нецелочисленное. Выберем хустроку в качестве производящей, т.е.

vKh+(-+fh=K)-

Соответствующее отсечение имеет вид

~4xa~7s,+s2=~i s2~° (отсечение2).



Присоединяя отсечение 2 к последней симплекс-таблице, получаем следующее.

базис

Решение

-1,7

-22/7

-1/7

-6/7

-4/7

Применение двойственного таблице.

симплекс-метода

приводит к

следующей

симплекс-

Базис

Решение

Оптимальное решение (jc, = 4, хг = 3, г - 58), определяемое последней симплекс-таблицей, является целочисленным. То, что все элементы данной симплекс-таблицы являются целочисленными, не случайность. Это типичное явление при использовании дробных отсечений.

Важно подчеркнуть, что применение дробного отсечения предполагает целочис-ленность всех переменных, включая дополнительные. Это значит, что данный метод применим только к решению полностью целочисленных задач.

Важность этого продемонстрируем на следующем примере. Рассмотрим ограничение

1 13

х. +-х2 <-,

1 3 2 2

jc хг> О и целые.

С точки зрения решения соответствующей задачи ЦЛП это ограничение преобразуется в уравнение путем введения неотрицательной дополнительной переменной s т.е.

1 13

1 3 - 1 2

Применение дробного отсечения предполагает, что ограничение имеет допустимое целочисленное решение по всем переменным, т.е. xv хг и s,. Рассмотрев это уравнение, можем сказать, что оно может иметь допустимое целочисленное решение переменных хх и х2 лишь в том случае, если переменная s, принимает нецелочисленные значения. Следовательно, применение дробного отсечения приведет к недопустимому целочисленному решению, так как все переменные xlt х2 и s, не могут одновременно быть целочисленными. Тем не менее ограничение имеет допустимые целочисленные решения для рассматриваемых переменных лг, и х2.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 [ 135 ] 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292