Этап 1. (6, = 5)

Оптимальное решение определяется последовательно таким образом.

х0 = 0 -> х\ - 5 -> х\ = 8 -> xj = 8 -> х\ = 6 -> дг* =6. Полученному решению соответствует следующий план.

УПРАЖНЕНИЯ 10.3.2

1. Решите задачу из примера 10.3.2 при следующих минимальных потребностях в рабочей силе.

a) 6, = 6, Ъг = 5, b3 = 3,ЬА = 6, Ъь = 8.

b) Ьх = 8, Ь2 = 4, b3 =7,bt = 8, Ьь = 2.

2. Пусть в примере 10.3.2 каждому уволенному рабочему выплачивается выходное пособие в размере 100 долл. Найдите оптимальное решение задачи.

3. Туристическое агентство организовывает недельные поездки в Египет. В соответствии с договором на ближайшие четыре недели агентство должно обеспечить туристические группы арендными автомобилями в количестве семь, четыре, семь и восемь штук соответственно. Агентство заключает договор с местным дилером по прокату автомобилей. Дилер назначает арендную плату за один автомобиль 220 долл. в неделю плюс 500 долл. за любую арендную сделку. Агентство, однако, может не возвращать арендованные автомобили в конце недели, и в этом случае оно должно будет платить только арендную плату в 220 долл. Каково оптимальное решение проблемы, связанной с арендой автомобилей?

4. Компания на следующие четыре года заключила контракт на поставку авиационных двигателей, по 4 двигателя в год. Доступные производственные мощности и стоимость производства меняются от года к году. Компания может изготовить пять двигателей за 1-й год, шесть - за 2-й, три - за 3-й и пять - за 4-й. Стоимость производства одного двигателя на протяжении следующих четырех лет равна соответственно 300 000, 330 000, 350 000 и 420 000 долл. В течение года компания может произвести больше

двигателей, чем необходимо, но в этом случае двигатели должны надлежащим образом храниться до их отгрузки потребителю. Стоимость хранения одного двигателя также меняется от года к году и оценивается в 20 ООО долл. для первого года, 30 ООО долл. - для второго, 40 ООО долл. - для третьего и 50 000 - для четвертого. В начале первого года компания имеет один двигатель, готовый к отгрузке. Разработайте оптимальный план производства двигателей.

10.3.3. Задача замены оборудования

Чем дольше механизм эксплуатируется, тем выше затраты на его обслуживание и ниже его производительность. Когда срок эксплуатации механизма достигает определенного уровня, может оказаться более выгодной его замена. Задача замены оборудования, таким образом, сводится к определению оптимального срока эксплуатации механизма.

Предположим, что мы занимаемся заменой механизмов на протяжении п лет. В начале каждого года принимается решение либо об эксплуатации механизма еще один год, либо о замене его новым. Обозначим через r(t) и с(г) прибыль от эксплуатации г-летнего механизма на протяжении года и затраты на его обслуживание за этот же период. Далее пусть s(t) - стоимость продажи механизма, который эксплуатировался t лет. Стоимость приобретения нового механизма остается неизменной на протяжении всех лет и равна /.

Элементы модели динамического программирования таковы.

1. Этап / представляется порядковым номером года /, / = 1, 2, п.

2. Вариантами решения на /-м этапе (т.е. для /-го года) являются альтернативы: продолжить эксплуатацию или заменить механизм в начале /-го года.

3. Состоянием на /-м этапе является срок эксплуатации t (возраст) механизма к началу /-го года.

Пусть f{t) - максимальная прибыль, получаемая за годы от / до п при условии, что в начале /-го года имеется механизм r-летнего возраста. Рекуррентное уравнение имеет следующий вид.

Компания планирует определить оптимальную политику замены используемого в настоящее время трехлетнего механизма на протяжении следующих 4 лет (п = 4), т.е. вплоть до начала пятого года. Приведенная таблица содержит относящиеся к задаче данные. Компания требует обязательной замены механизма, который находится в эксплуатации 6 лет. Стоимость нового механизма равна 100 000 долл.

где/ (.) = 0.

Пример 10.3.3

Определение допустимых значений возраста механизма на каждом этапе является нетривиальной задачей. На рис. 10.6 представлена рассматриваемая задача замены оборудования в виде сети. В начале первого года имеется механизм, эксплуатирующийся 3 года (на графике рис. 10.6 по оси Y откладывается возраст механизма). Мы можем либо заменить его (3), либо эксплуатировать (С) на протяжении следующего года. Если механизм заменили, то в начале второго года его возраст будет равен одному году, в противном случае его возраст будет 4 года. Такой же подход используется в начале каждого года, начиная со второго по четвертый.

1 2 3 4 5

Год принятия решения

Рис. 10.6. Схема возможной замены механизма для примера 10.3.3

Если однолетний механизм заменяется в начале второго или третьего года, то заменивший его механизм к началу следующего года также будет однолетним. К тому же, в начале 4-го года 6-летний механизм обязательно должен быть заменен, если он еще эксплуатируется; в конце 4-го года все механизмы продаются (77) в обязательном порядке. На схеме сети также видно, что в начале второго года возможны только механизмы со сроком эксплуатации 1 или 4 года. В начале третьего года механизм может иметь возраст 1, 2 или 5 лет, а в начале четвертого - 1,2,3 или 6 лет.