Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 [ 147 ] 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292

Решение данной задачи эквивалентно поиску маршрута максимальной длины (т.е. приносящего максимальную прибыль) от начала первого года к концу четвертого в сети, показанной на рис. 10.6. При решении этой задачи используем табличную форму записи. (Числовые данные в таблице кратны тысячам долларов.)

Этап 4.

Оптимум

K0 + s(f+l)-c(0

КО) + s(f) +

s(1)-c(0)-/

Решение

19,0 + 60-0,6 = 78,4

20 +80 + 80 -

0,2-100 = 79,8

79,8

18,5 + 50- 1,2 = 67,3

20 + 60 + 80 -

-0,2- 100 = 59,8

67,3

17,2 + 30-1,5 = 45,7

20 + 50 + 80 -

-0,2-100 = 49,8

49,8

Необходима замена

20 + 5 + 80 -

-0,2-100 = 4,8

Этап 3.

Оптимум

К0-с(0 + Мг+1)

КО) + s(0 -

с(0)-/+М1)

Решение

19,0-0,6 + 67,3 = 85,7

20 + 80 - 0,2 -

100 + 79,8 = 79,6

85,7

18,5-1,2 + 49,8 = 67,1

20 + 60 - 0,2 -

100 + 79,8 = 59,6

67,1

14,0-1,8 + 4,8 = 17,0

20 + 10-0,2-

-100 + 79,8 = 9,6

17,0

Этап 2.

Оптимум

К0-с(0 + Гз(г+1)

К0) + s(0 -

с(0)-/+гз(1)

Решение

19,0-0,6 + 67,1 =85,5

20 + 80 - 0,2 -

100 + 85,7 = 85,5

85,5

С или 3

15,5-1,7 + 19,6 = 33,4

20 + 30 - 0,2 -

100 + 85,7 = 35,5

35,5

Этап 1.

Оптимум

К0-ф) + 6(г+1)

КО) + s{0 -

с(0)-/+6(1)

Решение

17,2-1,5 + 35,5 = 51,2

20 + 50 - 0,2 -

100 + 85,5 = 55,3

55,3

На рис. 10.7 показана последовательность получения оптимального решения. В начале первого года оптимальным решением при / = 3 является замена механизма. Следовательно, новый механизм к началу второго года будет находиться в эксплуатации 1 год. При t = 1 в начале второго года оптимальным решением будет либо использование, либо замена механизма. Если он заменяется, то новый к началу третьего года будет находиться в эксплуатации 1 год, иначе механизм будет иметь возраст 2 года. Описанный процесс продолжается до тех пор, пока не будет определено оптимальное решение для четвертого года.



м- Год 1 -*м- Год 2 -ш- Год 3 -- Год 4 -м


Рис. 10.7. Решение примера 10.3.3

Следовательно, начиная с первого года эксплуатации механизма, альтернативными оптимальными стратегиями относительно замены механизма будут (3, С, С, 3) и(3, 3, С, С). Общая прибыль составит 55 300 долл.

УПРАЖНЕНИЯ 10.3.3

1. Постройте сеть и найдите оптимальное решение в задаче из примера 10.3.3 в каждом из следующих случаев.

a) В начале первого года имеется механизм, находящийся в эксплуатации 2 года.

b) В начале первого года имеется механизм, находящийся в эксплуатации 1 год.

c) В начале первого года куплен новый механизм.

2. Мой тринадцатилетний сын занимается собственным бизнесом - косит газоны десяти клиентам. Каждому клиенту он косит траву три раза в год, получая за один скошенный газон 50 долл. Он купил косилку за 200 долл. На протяжении первого года затраты на содержание и использование косилки равны 120 долл., и через год они увеличиваются на 20%. Одногодичная косилка может быть продана за 150 долларов, и с каждым годом ее стоимость уменьшается на 10%. Мой сын планирует продолжить свой бизнес, пока ему не исполнится 16 лет, и считает, что более выгодно менять косилку через каждые два года. Он объясняет это тем, что цена новой косилки увеличивается за год лишь на 10%. Справедливо ли его решение?

3. Группа ферм владеет трактором двухлетней давности и планирует разработать стратегию его замены на следующие пять лет. Трактор должен эксплуатироваться не менее двух и не более пяти лет. В настоящее время новый трактор стоит 40 000 долларов, и эта цена за год увеличивается на 10%. Текущая годичная стоимость эксплуатации трактора составляет 1300 долларов и, как ожидается, будет увеличиваться на 10% в год.

a) Сформулируйте задачу в виде задачи о кратчайшем пути.

b) Постройте соответствующее рекуррентное уравнение.

c) Определите оптимальную стратегию замены трактора на следующие пять лет.

4. Рассмотрим задачу замены оборудования на протяжении п лет. Цена новой единицы оборудования равна с долларов, а стоимость продажи после / лет эксплуатации равна s(t) = n-t при ихи нулю - в противном случае. Годичная прибыль от эксплуатации является функцией возраста оборудования / и равна r(t) = п - t2 при п > t и нулю - в противном случае.



a) Сформулируйте задачу как модель динамического программирования.

b) Определите оптимальную стратегию замены оборудования двухгодичной давности при с = 10 ООО долл., считая, что га = 5.

5. Решите задачу из предыдущего упражнения, предполагая, что возраст оборудования составляет 1 год и п = 4, с = 6000 долл., r(t) = п/(п + 1).

10.3.4. Задача инвестирования

Предположим, что в начале каждого из следующих га лет необходимо сделать инвестиции Pv Р2,Рп. Вы имеете возможность вложить капитал в два банка: первый банк выплачивает годовой сложный процент rv а второй - г2. Для поощрения депозитов оба банка выплачивают новым инвесторам премии в виде процента от вложенной суммы. Премиальные меняются от года к году, и для /-го года равны qn и qn в первом и втором банках соответственно. Они выплачиваются в конце года, на протяжении которого сделан вклад, и могут быть инвестированы в один из двух банков на следующий год. Это значит, что лишь указанные проценты и новые деньги могут быть инвестированы в один из двух банков. Размещенный в банке вклад должен находиться там до конца рассматриваемого периода. Необходимо разработать стратегию инвестиций на следующие га лет.

Элементы модели динамического программирования таковы.

1. Этап / представляется порядковым номером года /, / =1,2,..., п.

2. Вариантами решения на /-м этапе (для i-го года) являются суммы /, и /, инвестиций в первый и второй банк соответственно.

3. Состоянием х, на /-м этапе является сумма денег на начало /-го года, которые могут быть инвестированы.

Заметим, что по определению /. = х, - /,. Следовательно,

*. = Л.

Xi = Pi + qu.Ji-i + Яии(Хи ~ A.i) =

= Pi + (<7;-i,i ~ OluVli + <7/-и*;-ь где i = 2, 3, га. Сумма денег х которые могут быть инвестированы, включает лишь новые деньги и премиальные проценты за инвестиции, сделанные на протяжении (/ - 1)-го года.

Пусть f{x) - оптимальная сумма инвестиций для интервала от (-го до -го года при условии, что в начале /-го года имеется денежная сумма х,. Далее обозначим через Si накопленную сумму к концу га-го года при условии, что и (ху - /,) - объемы инвестиций на протяжении /-го года в первый и второй банк соответственно. Обозначая а, = (1 + г,), / = 1,2, мы можем сформулировать задачу в следующем виде.

Максимизировать г = s, + s2 + ... + sn,

s, = /,<* +( *, -/,.)аГ =(< - -сС1 )/, +аГ Ч, = 1.2,п-\,

s = (а, + <7 , - а2 - <7 2)/ + (а2 + qn2)x .

Поскольку премиальные за га-й год являются частью накопленной денежной суммы от инвестиций, в выражения для s добавлены qni и q 2.

Итак, в данном случае рекуррентное уравнение для обратной прогонки в алгоритме динамического программирования имеет вид



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 [ 147 ] 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292