Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 [ 148 ] 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292

Пример 10.3.4

Предположим, вы хотите инвестировать 4000 долл. сейчас и 2000 долл. в начале каждого года, от второго до четвертого, считая от текущего года. Первый банк выплачивает годовой сложный процент 8% и премиальные на протяжении следующих четырех лет в размере 1,8, 1,7, 2,1 и 2,5% соответственно. Годовой сложный процент, предлагаемый вторым банком, на 0,2% ниже, чем предлагает первый банк, но его премиальные на 0,5% выше. Задача состоит в максимизации накопленного капитала к концу четвертого года.

Используя введенные выше обозначения, имеем следующее.

я, = 4 000 долл., P2 = Pa = Pt = 2 000 долл.,

а, = (1 +0,08)= 1,08,

а2 = (1 +0,078) = 1,078,

qn = 0,018, Чп = 0,017, Чп = 0,021, Чн = 0,025,

<712 = 0,023, <722 = 0,022, q3i = 0,026, qa = 0,030.

Этап 4.

где 54 = (а, + <741 - а2 - qi2)It + (а, + qi2)xt = - 0,003/4 + 1, 108х4.

Функция s4 является линейной по /4 в области 0</4<дг4, и, следовательно, ее максимум достигается при /4 = 0 из-за отрицательного коэффициента при /4. Следовательно, оптимальное решение для этапа 4 может быть представлено в следующем виде.

Оптимальное решение

Состояние

U(X4)

1,108X4

Этап 3.

/э(*з)= тахЬ + ЛК)}.

5, = (1,082 - 1,0 782)/а+ 1,0 782х8 = 0,00432/,+ 1,162 1jc3, xt = 2000 - 0,005/3 + 0,026х,.

Следовательно,

/3(х3) = max {0,ОО432/3 + 1,162Ц +1,108(2000-0,005/3 + 0,026х3)} = = max {2216-0,00122/, + 1,1909*,).

0S/,S.I, L J

/Л= *{*. + /,Лхш)}. i = l,2,....i-l.

где jCj+i выражается через jc, в соответствии с приведенной выше формулой, a/ +i(* +i) = 0.



Оптимальное решение

Состояние

2216 + 1,1909хз

Этап 2.

/:W= max {s2+/3(x3)},

s2 = (1,083 - 1,078а)/2 + 1,0783х2 = 0,006985/2 + 1,25273х2, х3 = 2000 - 0,005/2 + 0,022х2.

Следовательно,

max {0,0О6985/2 +1,2527х, + 2216 +1,1909(2000 - 0,005/2

+ 0,022х2)} =

max {4597,8 + 0,0010305/, +1,27893хЛ.

0</,Sa, 1

Оптимальное решение

Состояние

Нхг)

4597,8 + 1.27996X2

Этап 1.

/.( О = 0 *{*.+Л ( *:)}.

s, = (1,084 - 1,0784)/, + 1,0784х, = 0,01005/, + 1,3504* х2 = 2000 - 0,005/, + 0,023х,.

Следовательно,

/,(х,)= max {0,01005/, +1,3504х, +4597,8 + 1,27996(2000 - 0,005/, + 0,023*,)} = = max {7157,7 + 0,00365/. +1,37984х,}.

Оптимальное решение

Состояние

n(Xi)

Xi = $4000

7I57,7 + 1,38349xi

$4000

При вычислениях в обратном направлении получаем следующее.

х2 = 2000 - 0,005 х 4000 + 0,023 х 4000 = 2072 долл., х3 = 2000 - 0,005 х 2072 + 0,022 х 2072 = 2035,22 долл., xt = 2000 - 0,005 х 0 + 0,026 х 2035,22 = 2052,92.

Следовательно, оптимальное решение будет записано следующим образом.



Год Оптимальное решение Решение, принимаемое инвестором Накопления

= х1

Инвестировать xi

= 4000 долл. в первый банк

.si = 5441,80 долл.

= хг

Инвестировать Хг

= 2072 долл. в первый банк

S2 = 2610,13 долл.

Инвестировать хз =

2035,22 долл. во второй банк

S3 = 2365,13 долл.

Инвестировать х4 =

2052,92 долл. во второй банк

и = 2274,64 долл.

Всего

12 691,70 долл.

УПРАЖНЕНИЯ 10.3.4

1. Решите задачу из примера 10.3.4, предполагая, что г, = 0,085, г2 = 0,08. Кроме того, пусть Рг = 5000 долл., Р2 = 4000 долл., Р3 = 3000 долл. и Р4 = 2000 долл.

2. Некий инвестор с начальным капиталом в 10 000 долл. должен решить в конце каждого года, сколько денег истратить и сколько инвестировать. Каждый инвестированный доллар возвращает а = 1,09 долл. в конце года. Истраченные у долларов на протяжении каждого года приносят удовлетворение, определяемое количественно как эквивалент получения g{y)=fy долларов. Решите задачу с помощью методов динамического программирования для периода в п = 5 лет.

3. Фермер имеет k овец. В конце каждого года он принимает решение, сколько овец продать и сколько оставить. Прибыль от продажи одной овцы в ;-й год равна Количество овец в конце /-го года удваивается к концу (; + 1)-го года. Фермер планирует в конце п-то года полностью продать овец.

a) Получите общее рекуррентное уравнение для решения задачи.

b) Решите задачу при следующих данных: п = 3 года, к = 2 овцы, р, = 100 долл., р2 = 130 долл., р3 = 120 долл..

10.3.5. Модели управления запасами

Важной областью применения методов динамического программирования являются задачи управления запасами. В главах 11 и 16 рассмотрены некоторые задачи этого класса, при этом в главе 11 рассматриваются детерминированные модели, а в главе 16 - стохастические.

10.4. ПРОБЛЕМА РАЗМЕРНОСТИ

Во всех рассмотренных выше задачах динамического программирования состояние системы на любом этапе описывалось единственной переменной. Например, в задаче о загрузке (раздел 10.3.1) вес предмета является единственным ограничением, которое учитывается при его погрузке. Вместе с этим объем судна также может быть ограничительной величиной. В этом случае говорят, что состояние системы является двухмерным, так как формируется двумя переменными: весом и объемом.

Увеличение числа переменных состояния системы влечет за собой увеличение объема вычислений на каждом этапе. Особенно это заметно в моделях динамического программирования при вычислениях с использованием таблиц, так как количество строк каждой таблицы должно соответствовать всем возможным комби-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 [ 148 ] 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292