3. Комплектующие продаются по 25 долл. за единицу, но предлагается 10 % скидка при покупке партии от 150 единиц и выше. Компания в день использует 20 единиц комплектующих. Стоимость размещения заказа равна 50 долл., стоимость хранения единицы товара составляет 0,30 долл. в день. Следует ли компании воспользоваться скидкой?

4. В предыдущем упражнении определите пределы изменения скидки на цену комплектующих в процентах (предлагаемую за партию от 150 единиц и выше), при которых компания не получит никакой финансовой выгоды.

5. В модели управления запасами, рассмотренной в этом разделе, предположите, что стоимость хранения единицы товара в единицу времени равна Л если объем хранимого товара меньше q единиц, и Л2 в противном случае, Л, > п2. Покажите, как в этом случае можно определить экономичный размер партии хранимого товара.

11.2.3. Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада

Эта модель рассматривает задачу управления запасами п различных товаров, которые хранятся на одном складе ограниченной вместимости. Характер изменения запаса каждого товара в отдельности определяется функцией, показанной на рис. 11.1; предполагается, что дефицит отсутствует. Отличие от ранее рассмотренных моделей состоит в том, что товары конкурируют между собой за ограниченное складское пространство.

Определим для товара i, i = 1, 2.....п, следующие параметры.

D, - интенсивность спроса,

Kt - стоимость размещения заказа,

Л( - стоимость хранения единицы товара в единицу времени, yt - объем заказа,

а, - необходимое пространство для хранения единицы товара,

А - максимальное складское пространство для хранения товаров п видов.

При отсутствии дефицита математическая модель сформулированной задачи имеет следующий вид.

ГК,Р, t h,y, У, 2

Минимизировать TCU (у у ..., у ) = при ограничениях

1>,у<Д

у, >0, i= 1, 2, п. Алгоритм решения этой задачи можно описать следующим образом.

Этап 1. Вычисляются оптимальные объемы заказов без учета ограничения по вместимости склада:

i = 1, 2,

Этап 2. Осуществляется проверка, удовлетворяют ли найденные значения у ограничению по вместимости склада. Если это так, вычисления

заканчиваются, при этом значения у, i = 1, 2, л являются оптимальными. В противном случае следует перейти к этапу 3.

Этап 3. Ограничение по вместимости склада должно удовлетворяться в форме равенства. Используется метод множителей Лагранжа для определения оптимальных объемов заказа для задачи с ограничением.

На этапе 3 строится функция Лагранжа

ЦЛ,у1,у2,...,уп) = ТСи(у1,у2,...,у )-л(£а1у,-А\ =

КД , h,y, -.У, 2 где Я (< 0) - множитель Лагранжа2.

Поскольку функция Лагранжа является выпуклой, оптимальные значения у, и Я находятся из следующих уравнений, которые представляют собой необходимые условия экстремума функции Лагранжа.

-Чг- + - -Яа= 0, 2

= -£ад.+А = 0.

Второе уравнение показывает, что ограничение по вместимости склада в оптимальной точке должно удовлетворяться в форме равенства. Из первого уравнения следует, что

гкр.

Полученная формула показывает, что у* зависит от оптимального значения Я* множителя Лагранжа. Кроме того, при Я* = 0 значение у] является решением задачи без ограничения.

Значение Я* может быть найдено следующим образом. Так как по определению в поставленной выше задаче минимизации Л < 0, мы последовательно уменьшаем Я на достаточно малую величину и используем ее в данной формуле для вычисления соответствующего значения у*. Искомое значение X приводит к значениям у*, t = l, 2, п, которые удовлетворяют ограничению по вместимости склада в форме равенства.

Пример 11.2.3

В разделе 20.1.1 детально рассмотрен метод множителей Лагранжа. Применение метода в данном случае является корректным, так как здесь функция ТСЩух, уг,уп,) выпуклая, задача имеет единственное линейное ограничение и, следовательно, выпуклое пространство решений. Метод может оказаться некорректным при Других ограничениях или при наличии более одного ограничения (см. раздел 20.1.2).

Рассмотрим задачу управления запасами, исходные данные для которой приведены в следующей таблице.

Товар i К, (долл.) D-, (единиц в день) Л, (долл.) а; (кв. футы)

1 10 2 0,3 1

2 5 4 0,1 1

3 15 4 0,2 1

Общая площадь склада = 25 футов2

Вручную производить вычисления в этой задаче утомительно, поэтому воспользуемся шаблоном chllConstrainedEOQ.xls.

На рис. 11.6 показан рабочий лист этого шаблона с исходными данными для рассматриваемой задачи. Исходные данные содержат все необходимые параметры для каждого вида запаса (товара). Начальное значение Л (ячейка СЮ) обычно устанавливается равным нулю, шаг изменения Л задается в ячейке СИ. Это начальное значение Л и шаг изменения определяют точность вычисленного значения Л и объем выполненных вычислений.

Рис. 11.6. Решение в Excel задачи примера 11.2.3

Шаблон рассчитан на решение задач, содержащих не более 10 видов запаса. С помощью этого шаблона можно находить решение задач, где ограничение представлено в форме