3. Стоимость производства единицы продукции в любой период либо является постоянной, либо имеет возрастающие предельные затраты (т.е. соответствующая функция затрат является выпуклой).

4. Стоимость хранения единицы продукции в каждый период является постоянной величиной.

Предположение об отсутствии дефицита означает, что спрос на продукцию на протяжении текущего периода не может быть удовлетворен за счет ее производства в последующие периоды. Это предположение по крайней мере требует, чтобы суммарные возможности производства за периоды 1, 2, i были равны суммарному спросу на продукцию за это же время.

На рис. 11.8 показано, когда производственные затраты на единицу продукции возрастают с увеличением уровня производства. Например, при двух возможных объемах производства, которые определяются обычным режимом работы и сверхурочными работами, стоимость производства единицы продукции, производимой в сверхурочное время, выше, чем при обычном режиме работы.

Затраты

О Объем производства

Рис. 11.8. Выпуклая функция затрат

Рассматриваемую задачу л-этапного планирования можно сформулировать в виде транспортной задачи (см. главу 5) с kn пунктами производства и л потребителями, где k - количество возможных уровней производства на протяжении периода (например, если на протяжении каждого периода используется регулярный и сверхурочный режимы работы, то k = 2). Производственные возможности каждого из kn пунктов производства определяют объемы поставок. Объемы потребления определяются объемом спроса для каждого периода. Себестоимость перевозки от пункта производства до пункта назначения определяется суммой затрат используемого производственного процесса и стоимости хранения единицы продукции. Оптимальное решение такой транспортной задачи определит объемы производства продукции для каждого производственного уровня, которые минимизируют суммарные затраты на производство и хранение.

Эту задачу можно решить без использования метода решения транспортных задач, представленного в главе 5. Обоснованность нового метода решения, показанного далее, следует из упомянутых предположений об отсутствии дефицита и выпуклости функции затрат на производство.

Пример 11.3.1

Компания производит специальные вытяжки, которые используются в домашних каминах в период с декабря по март. В начале отопительного сезона спрос на эту продукцию низкий, в середине сезона он достигает своего пика и уменьшается к концу сезона. Учитывая популярность продукции, компания может использовать сверхурочные работы для удовлетворения спроса на свою продукцию. Следующая таблица содержит данные о производственных мощностях компании и объемах спроса на протяжении четырех месяцев.

Возможности производства

Месяц Обычный режим работы (единицы) Сверхурочные (единицы) Спрос (единицы)

Стоимость производства единицы продукции равна 6 долл. в условиях обычного режима работы и 9 долл. при сверхурочных работах. Стоимость хранения единицы продукции на протяжении месяца равна 0,10 долл.

Чтобы гарантировать допустимое решение при отсутствии дефицита, требуется, чтобы суммарное предложение продукции (возможности производства) к началу каждого месяца по меньшей мере равнялось суммарному спросу. Об этом свидетельствует следующая таблица.

В табл. 11.1 содержатся данные, относящиеся к рассматриваемой задаче, и ее решение. Здесь Rt и О, соответствуют уровням производства в обычном и сверхурочном режиме работы на протяжении периода i, i = l, 2, 3,4. Так как суммарное предложение в четвертом периоде превышает суммарный спрос, то введен искусственный пункт потребления (избыток), чтобы сбалансировать модель (это показано в табл. 11.1). Все транспортные маршруты из предыдущего в текущий период заблокированы, так как дефицит отсутствует.

Себестоимости перевозок продукции вычисляются в виде суммы затрат на производство и хранение. Например, соответствующая себестоимость от Я, до первого периода равна лишь стоимости изготовления в 6 долл., себестоимость от О, до четвертого периода - стоимости изготовления плюс стоимость хранения от первого периода до четвертого, т.е. 9 + (0,1 + 0,1 + 0,1) = 9,30 долл. Наконец, себестоимость перевозки до искусственного пункта потребления (избыток) равна нулю.

Оптимальное решение получается в один проход, начиная с первого столбца в направлении к столбцу Избыток . Для каждого перспективного столбца спрос удовлетворяется с использованием самого дешевого маршрута4.

4 Доказательство оптимальности этой процедуры приведено в работе Johnson S.M. Sequential Production Planning over Time at Minimum Cost , Management Science, Vol.3,1957, pp. 435-437.

Таблица 11.1

Начиная с первого столбца маршрут (Л 1) имеет самую дешевую себестоимость перевозки, и мы назначаем перевозку максимально возможного объема, а именно min(90, 100) = 90 единиц, что оставляет 10 единиц неудовлетворенного спроса в первом столбце. Далее переходим к следующему по себестоимости маршруту (О 1) первого столбца и определяем перевозку min(50, 10) = 10 единиц, что теперь полностью удовлетворяет спрос для первого периода.

После удовлетворения спроса для первого периода мы переходим ко второму столбцу. Определение перевозок в этом столбце происходит следующим образом: 100 единиц по маршруту (R2, 2), 60 единиц по маршруту (02, 2) и 30 единиц по маршруту (О 2). Этим маршрутам соответствуют себестоимости перевозок в 6, 9 и 9,10 долл. При этом маршрут (Rif 2), транспортные расходы на единицу продукции для которого равны 6,10 долл., не рассматривается, так как весь запас Л, был израсходован для первого периода.

Продолжая аналогичным образом, мы удовлетворяем спрос для третьего, а затем и четвертого столбцов. Оптимальное решение, выделенное жирным шрифтом в табл. 11.1, интерпретируется следующим образом.