Принимая во внимание колебания спроса на продукцию, менеджер по управлению запасами избрал стратегию, в соответствии с которой заказы на продукцию размещаются поквартально: 1 января, 1 апреля, 1 июля и 1 октября. При этом объем заказа покрывает объем спроса соответствующего квартала. Срок между размещением заказа и его получением равен 3 месяца. Оценки объема спроса на текущий год принимаются равными соответствующим показателям пятого года плюс дополнительно 10 % в качестве безопасности.

Новый сотрудник верит в то, что можно достичь более эффективной стратегии управления запасами, используя экономичный объем заказа, основанный на среднемесячном объеме спроса на продукцию за год. Колебания спроса могут быть сглажены путем размещения заказов, которые по объему примерно равны экономичному объему партии и покрывают спрос нескольких последовательных месяцев. В отличие от менеджера, новый сотрудник считает, что оценки объема спроса на следующий год должны основываться на усредненных показателях для четвертого и пятого годов.

Во всех вычислениях, связанных с хранением продукции, компания считает, что затраты на хранение единицы продукции на протяжении месяца равны 0,50 долл. Стоимость размещения нового заказа равна 55 долл.

Предложите стратегию управления запасами для компании.

ГЛАВА 12

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Все методы решения задач исследования операций, изложенные в предыдущих главах, предполагают, что необходимые для их реализации данные известны точно. Однако это предположение выполняется не во всех случаях. Например, потребность в электроэнергии в летние месяцы может меняться от года к году в зависимости от погодных условий. В таких случаях представление потребности в виде постоянной детерминированной величины неприемлемо. Вместо этого можно использовать данные наблюдений или статистические источники для описания потребности с помощью вероятностного распределения.

12.1. ЗАКОНЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Понятие вероятности ассоциируется с проведением эксперимента, результаты которого, именуемые исходами, изменяются случайным образом. Множество всех возможных исходов эксперимента называется пространством событий, а любое подмножество этого пространства - событием. Например, в эксперименте с бросанием игральной шестигранной кости исход соответствует грани кости, т.е. может принимать значение от 1 до 6. Следовательно, пространство событий представляет собой множество {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Примером события в этом эксперименте может, например, быть выпадение четного числа (2, 4 или 6).

Эксперимент может быть связан также с непрерывным пространством событий. Например, время между отказами некоторого электронного устройства может принимать любое неотрицательное значение.

Если в эксперименте, состоящем из п опытов, событие Е имеет место т раз, то вероятность Р{Е) появления события Е математически определяется соотношением

Р[Е) = \\т-.

-> п

Приведенное определение означает, что если эксперимент повторяется бесконечное число раз (п - оо), искомая вероятность представляется граничным значением дроби ml п. Это определение можно проверить, проведя эксперимент с бросанием монеты, исходами которого являются выпадение герба (Г) и решетки (Р). Чем большее число раз бросается монета (проводится эксперимент), тем ближе оценки Р{Р} и Р{Г} к теоретическому значению 0,5.

Глава 12. Основы теории вероятностей

По определению

0<Р{Е}< 1,

где вероятность Р{Е} равна 0, если событие Е невозможно, и 1, если оно достоверно. Например, в эксперименте с шестигранной игральной костью выпадение семерки является невозможным событием, тогда как любое целое число от 1 до 6 - событие достоверное.

1. В ходе анализа, проведенного в средних школах штата Арканзас в целях изучения зависимости между успеваемостью по математике и поступлением в технические колледжи, получены следующие данные: из 1000 опрошенных выпускников 400 изучали математику. Из тех, кто изучал математику, лишь 150 были приняты в технические колледжи.

a) Определите вероятность того, что студент, изучавший математику, 1) поступит в технический колледж, 2) не поступит в технический колледж.

b) Определите вероятность того, что студент, не изучавший математику, не поступит в технический колледж.

2. Рассмотрим случайную совокупность из п человек. Определите наименьшее п такое, что более вероятным будет событие, состоящее в совпадении дней рождения нескольких человек (т.е. более вероятным по сравнению с событием, что у всех индивидуумов в данной совокупности даты рождения различны). (Совет. Предположите, что нет високосных годов и все дни года с равной вероятностью могут быть днем рождения каждого человека.)

12.1.1. Закон сложения вероятностей

Для данных двух событий Е и F запись Е + F обозначает их объединение, a EF - пересечение. События Е и F называются несовместными (взаимно исключающими), если они не пересекаются, т.е. наступление одного события исключает возможность реализации другого. При принятых определениях закон сложения вероятностей определяется соотношением

Вероятность того, что события Е и F произойдут одновременно, обозначается как P{EF}. Если эти события независимы, тогда

P{EF)=P{E)P{F}.

Пример 12.1.1

Рассмотрим эксперимент с игральной костью. В данном случае пространство событий представляет собой множество (1, 2, 3, 4, 5, 6}. Для симметричной кости имеем

УПРАЖНЕНИЯ 12.1.1

Р{Е} + P{F}, если Е и F несовместные,

Р{Е}+ P{F)- P{EF) в противном случае.

Р{1}=Р{2} = Я{3} = Я{4} = Р{5} = Я{6} = 1.

Определим события

£ = {1,2, 3 или 4}, F = {3,4 или 5}.