12.1. Законы теории вероятностей 509

Исходы 3 и 4 являются общими для событий Е и F. Следовательно, EF = = {3 или 4}. Имеем

/-{£} = Р{1} + Р{2} + ф} + /-{4} = 1Л1 + и,

/-{F} = P{3} + P{4} + P{5} = i + I + I = i

P{EF} = P{3} + P{A} = yr1-. Отсюда следует, что

Р{Е + F} = Р{Е} + P{F} - P{EF) = I + 1 - I = .

Чисто интуитивно этот результат понятен, так как событие (Е + F) = {1, 2, 3, 4, 5}, очевидно, имеет вероятность 5/6.

УПРАЖНЕНИЯ 12.1.2

1. Игральная кость бросается дважды. Обозначив через Е и F исходы независимых бросаний, вычислите вероятности следующих событий.

a) Сумма £ и F равна 11.

b) Сумма EiiF четная.

c) Сумма EiiF нечетная и больше 3.

d) Е меньше 6 и F нечетно и больше 1.

e) Ебольше 2 поменьше4.

f) Е равно 4 и сумма Е и F нечетная.

2. Бросаются независимо две игральные кости и записываются выпавшие числа.

a) Какова вероятность того, что оба числа являются четными?

b) Какова вероятность того, что сумма двух чисел равна 10?

c) Какова вероятность того, что два числа отличаются по меньшей мере на 3?

3. Можно бросать симметричную монету до 7 раз и выиграть 100 долл., если появится по крайней мере три герба до появления решетки. Каковы шансы выиграть 100 долл.?

4. Анна, Джим, Джон и Лиза участвуют в теннисном турнире. Вероятность того, что Анна победит Джима, в два раза выше вероятности обратного результата, а мастерство Джима оценивается на том же уровне, что и мастерство Джона. В прошлом Лиза выигрывала у Джона примерно один раз из трех.

a) Какова вероятность того, что Джим выиграет турнир?

b) Какова вероятность того, что турнир выиграет женщина?

c) Какова вероятность того, что турнир женщина не выиграет?

12.1.2. Условные вероятности

Для данных двух событий Е nF условная вероятность события Е при условии, что наступило событие F, обозначается как Р{ Е \ F} и определяется по формуле

P[EIF} = P§} P[F}>°-

Если событие Е содержится в событии F (т.е. множество исходов Е является подмножеством множества исходов F), тогда P{EF} = Р{Е}.

Два события Е и F являются независимыми тогда и только тогда, когда выполняется равенство Р{ Е \ F} = Р{Е). В этом случае формула условной вероятности сводится к следующему

P{EF}-P{E)P{F}.

Пример 12.1.2

Предположим, вы участвуете в игре, в которой другой человек бросает игральную кость. Вы не можете видеть игральную кость, но вам сообщается некоторая информация об исходах бросания кости. Вам необходимо предсказать возможный исход каждого бросания кости. Определим вероятность того, что исходом будет число 6 при условии, что вам сообщили о том, что исходом бросания кости является четное число.

Пусть Е = {6}; определим F = {2, 4 или 6}. Следовательно,

PiElF]-llEl-£lE.-iiL-L

1 1 P{F} P{F} () 3

Заметим, что P{EF} = Р{Е}, так как множество исходов Е является подмножеством множества исходов F.

УПРАЖНЕНИЯ 12.1.3

1. Вернитесь к примеру 12.1.2. Предположим, вам сообщили, что исход бросания кости меньше 6.

a) Определите вероятность выпадения четного числа.

b) Определите вероятность выпадения нечетного числа, превышающего 1.

2. Докажите, что если выполняется равенство Р{А \ В] = Р{А}, то события А и В независимы.

3. Теорема Байеса.1 Покажите, что для двух заданных событий А и В имеет место соотношение

Р{В\А}Р{А}

Р{А\В}=- , л 1 1 Р{В}

гдеР{В}>0.

1 Более детально теорема Байеса представлена в разделе 14.2.2.

4. Завод А поставляет в магазин 75 % продаваемых аккумуляторов, а завод В- 25%. Процент бракованных аккумуляторов равен 1 и 2% соответственно для заводов А и В. Клиент купил в магазине аккумулятор.

a) Какова вероятность того, что аккумулятор бракованный?

b) Если купленный аккумулятор является бракованным, какова вероятность того, что он изготовлен на заводе А? (Совет. Используйте теорему Байеса из предыдущего упражнения.)

5. Статистика свидетельствует, что 70 % мужчин болеют какой-нибудь формой рака предстательной железы. Американский тест PSA в 90 % случаев дает положительный результат для пораженных болезнью мужчин и в 10 % - для здоровых. Какова вероятность того, что мужчина, имеющий положительный результат теста, имеет рак предстательной железы?

12.2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Исходы эксперимента (испытания) обычно либо выражаются в числовом виде, либо им можно поставить в соответствие некоторые действительные числа. Например, исходы бросания игральной кости выражаются в виде целых чисел от 1 до 6. А проверка на брак некоторого изделия дает два исхода: некачественное и качественное. В этом случае можно использовать число 0 для представления исхода некачественный и 1 - для исхода качественный . Численное представление исходов эксперимента - это то, что именуется случайной величиной.2

Случайная величина х может быть дискретной или непрерывной. Например, случайная величина, связанная с бросанием игральной кости, является дискретной со значениями от 1 до 6, тогда как время между поступлениями заявок в систему обслуживания выражается непрерывной случайной величиной с положительными значениями.

Как непрерывная, так и дискретная случайная величина имеют плотность распределения вероятностей, которая часто именуется просто плотностью вероятности и обозначается как f(x) (для непрерывной случайной величины) или р(х) (для дискретной случайной величины). Плотности вероятностей должны удовлетворять условиям, перечисленным в следующей таблице.

Условие неотрицательности для непрерывных и дискретных распределений означает, что плотность вероятности не может принимать отрицательные значения (в противном случае вероятность некоторых событий могла бы быть отрицательной).

Случайную величину можно считать функцией, отображающей пространство элементарных исходов на пространство действительных чисел. - Прим. ред.