Условие нормировки показывает, что сумма вероятностей по всему пространству событий должна быть равна единице.

Самой важной вероятностной характеристикой случайной величины является функция распределения, определяемая следующим образом:

1{х< Х} =

Р(Х) = р(х) для дискретной случайной величины х,

F(X)= j/(jc)<iv для непрерывной случайной величиных.

Пример 12.2.1

Рассмотрим ситуацию с бросанием игральной кости. Пусть хе {1, 2, 3, 4, 5,6} - случайная величина, представляющая количество выпавших очков. Тогда плотность вероятности и функция распределения вероятности случайной величины х определяются следующим образом.

р(х) = -, х = 1,2.....6,

Р(Х) = -, Х = 1,2.....6.

На рис. 12.1 приведены графики этих двух функций. Плотность вероятности р(х) является равномерной дискретной функцией, так как любые значения случайной величиной принимаются с одинаковыми вероятностями.

----Функция

распределения Р(х)

Плотность вероятности р(х)

Рис. 12.1. Функция распределения и плотность вероятности дискретной случайной величины

Непрерывный аналог равномерной плотности вероятности можно получить на основе следующего эксперимента. Стрелка длиной I закреплена подвижно на оси в центре круга, радиус которого также равен I. На окружности выбирается точка отсчета, стрелка вращается в направлении часовой стрелки, по окружности измеряется расстояние х, пройденное стрелкой от точки отсчета. Такая случайная величина х является непрерывной, принимающей значения из интервала 0 < х < М. Нет никаких оснований считать, что стрелка будет иметь тенденцию останавливаться в некоторой области окружности чаще, чем в других областях. Поэтому все значения

х из интервала 0<х<М могут приниматься с равной вероятностью и распределение х должно быть равномерным.

В данном случае плотность вероятности f(x) случайной величины х определяется следующим образом.

/(*) = -, 0<х<к1.

Функция распределения F(X) случайной величины х вычисляется по формуле

F(X) = P{x<X} = f- dx=-, 0<Х<л/. J тс/ Til

На рис. 12.2 представлены графики этих двух функций.

-Функция

распределения F(x)

Плотность вероятности/(х)

О к1 х

Рис. 12.2. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

УПРАЖНЕНИЯ 12.2

1. Некоторая величина принимает случайным образом целочисленное значение х из интервала [1, 5]. Плотность вероятности р(х) этой величины прямо пропорциональна значению х с коэффициентом пропорциональности К.

a) Определите плотность вероятности и функцию распределения данной случайной величины, нарисуйте графики полученных функций.

b) Определите вероятность того, что случайная величина примет значение, равное четному числу.

2. Дана следующая функция:

f(x) = JLt 10<х<20.

a) Найдите значение константы k, при котором функция f(x) будет плотностью вероятности.

b) Найдите функцию распределения случайной величины х и определите вероятность того, что случайная величина х примет значение: а) больше 12, б) между 13 и 15.

3. Дневная потребность в бензине без свинца является равномерно распределенной случайной величиной, изменяющейся в интервале от 750 до 1250

галлонов. Бензоцистерна емкостью 1100 галлонов наполняется ежедневно в полночь. Какова вероятность того, что цистерна будет пустой как раз перед заполнением ее бензином?

12.3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Пусть х - случайная величина, h(x) - некоторая функция от х. Математическим ожиданием случайной функции h(x), которое обозначается как M{h(x)}, называется средняя величина, взвешенная по отношению к плотности вероятности случайной величины х. При заданной плотности вероятности р(х) или f(x) (для дискретной и непрерывной случайных величин соответственно) величина M{h(x)} вычисляется следующим образом:

M{h(x)}-

h(x) р(х), если х - дискретная случайная величина,

х=а Ь

h(x)f[x)dx, если х - непрерывная случайная величина.

Пример 12.3.1

В течение первой недели каждого месяца я, как и большинство людей, оплачиваю все свои счета и отвечаю на некоторые письма. С этой целью я обычно покупаю 20 почтовых марок. Число используемых марок является случайной величиной, принимающей значения от 10 до 24 с равными вероятностями. Найдем, чему равно среднее число оставшихся марок.

Пусть х - количество используемых марок, тогда плотность вероятности х такова:

р(х) = -, х = 10,11,..., 24. w 15

Количество оставшихся марок определяется соотношением

[20-х, х = 10,11, ...,19,

Следовательно,

4х)- ,

10 в противном случае.

М {h(x)} = -[(20 -10) + (20 -11) + (20 -12) +... + (20 -19)] + 0 = з.

Произведение 0 необходимо для завершения вычисления математического ожидания. Вероятность того, что вообще не останется марок, равна

Р{х > 20} = Р(20) + Р(21)+ Р(22) + Р(23)+ Р(24) = 5(jj] = [J-