Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 [ 165 ] 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292

УПРАЖНЕНИЯ 12.3.1

1. В задаче из примера 12.3.1 вычислите среднее количество оставшихся марок при условии, что ежемесячно покупается число марок, соответствующее максимально возможной потребности в них.

2. Результаты решения задачи из примера 12.3.1 и предыдущего упражнения приводят к положительным значениям средних величин как при избытке, так и недостаче марок. Являются ли эти результаты противоречивыми? Дайте объяснение.

3. Владелец газетного киоска каждое утро приобретает для продажи 50 экземпляров газеты Аль Ахрам. Ежедневный спрос х на эту газету является случайной величиной со следующим распределением

Р(х):

х = 35, 36, ...,49,

х = 50,51.....59,

-, х = 60,61.....70.

a) Найдите вероятность того, что все газеты будут проданы.

b) Вычислите ожидаемое число непроданных газет.

c) Если владелец киоска приобретает газеты за 50 центов, продает за 1 долл., то какова его ожидаемая чистая прибыль в день?

12.3.1. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Для общей характеристики свойств одномерной случайной величины х обычно используется две числовые характеристики: математическое ожидание (среднее) М{х} и дисперсия D{x}. Математическое ожидание является характеристикой положения распределения случайной величины х на числовой оси относительно начала координат, а дисперсия - мерой ее разброса относительно математического ожидания М{х). Большее значение дисперсии свидетельствует о более высокой степени неопределенности в описании случайной величины.

Формулы для математического ожидания и дисперсии случайной величины х могут быть получены из общей формулы для математического ожидания путем подстановки h(x) = х для М{х) и Л(х) = (х - М{х})2 для D{x}. Следовательно,

М{Х}-

]Г хр (х), если х - дискретная случайная величина,

jV (x)dx, если х - непрерывная случайная величина,

(х-М{х})~ р(х), если а: - дискретная случайная величина, ь

J(x - М {*}) f (x)dx, если х - непрерывная случайная величина.

Обоснованность вывода указанных формул легче просматривается для дискретного распределения. В этом случае М{х) представляет собой взвешенную сумму



дискретных значений х, D{x} - взвешенную сумму квадратов отклонения случайной величины х от М{х]. Ситуацию с непрерывно распределенной случайной величиной можно интерпретировать аналогично, заменив суммирование интегрированием.

Пример 12.3.2

Вычислим математическое ожидание и дисперсию для каждого из двух экспериментов, рассмотренных в примере 12.2.1.

Ситуация 1 (бросание игральной кости). Здесь плотность вероятности равна

р(х) = -, дг = 1,2,...,6. Следовательно, 6

0{л-} = -[(1-3,5):+(2-3,5):+(3-3,5)2+(4-3,5)2+(5-3,5)2+(6-3,5)2] = 2,917 . Ситуация 2 (вращение стрелки). Пусть длина стрелки равна единице. Тогда

f(x)=-, 0<х<3,14.

V ; 3,14

Математическое ожидание и дисперсия вычисляются следующим образом.

314 .

М{х}= f x-=-dx = \,57 , 1 oJ 3,14

D{x}= /(лг-1,57)2 -\-dx = 0,822,

УПРАЖНЕНИЯ 12.3.2

1. Вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины, определенной в упражнении 12.2.1.1.

2. Вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины, определенной в упражнении 12.2.1.2.

3. Покажите, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины х, равномерно распределенной на интервале а < х < Ь, равны

, Ь + а 1 ; 2

. . (h-n)-

4. Докажите, что для случайной величины х, определенной на интервале а < х < Ь с заданной плотностью вероятности f(x), имеет место соотношение

D{x} = M{x2}-(M{x}f.



5. Пусть для случайной величины х, определенной на интервале а < х < Ь, задана плотность вероятности f(x) иусх + d, где end - константы. Докажите, что имеют место соотношения

M{y} = cM{x} + d, В{у} = сЩх}.

12.3.2. Совместные распределения вероятностей

Рассмотрим две непрерывно распределенные случайные величины х и х2, которые определены соответственно на интервалах а, < х, < 6, и а2 < хг < Ьг. Обозначим через f(xv х2) плотность совместного распределения вероятностей величин х, и х2, а через /,(*,) и f2(x2) - маргинальные (частные) плотности распределения вероятностей величин х, и х2 соответственно. Тогда

/(x x,)>0, a, <x,<bv аг<хг<Ьг, Лг, Лг,/(х х,) = 1,

/.Ы = \f{x x2)dx2,

fi(xi) = \f{xvx,)dxt,

/(x x,) = /,(х,)/2(х2), еслих, их, независимы.

Такие же формулы используются для дискретно распределенных случайных величин, которые получаются в результате замены интегрирования суммированием.

Далее в этом разделе рассматриваются функции от нескольких случайных переменных. В частности, рассмотрим две ситуации.

1. у = х,х2,

2. у = с,х,+с,х2,

где х,их2 - случайные величины, плотность совместного распределения вероятностей которых задана функцией /(х х2).

Если х, и х2 независимые случайные величины, то

М{х,х2)=М{х,)М{х2).

Для суммы случайных величин х, и х2 без учета их зависимости можно доказать, что

М{с,х, + с2х2) = clM{xl) + с2М{х2).

Кроме того,

D{c,x, + с,х,} = c,2D{x,} + c;D{x2} + 2c,c2cov{x x,}, где ковариация cov{xj, х2) случайных величин и х2 вычисляется по формуле



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 [ 165 ] 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292