Это формула плотности вероятности биномиального распределения с параметрами пир. Математическое ожидание и дисперсия для этого распределения равны

М{х) = пр, D{x) - гер(1 -р).

Пример 12.4.1

Некая работа сопряжена с десятью поездками на автомобиле между двумя городами. Выполнив все 10 поездок, работник может отдыхать остаток дня, что является достаточным стимулом для превышения скорости. Опыт показывает, что вероятность получения штрафа за превышение скорости в каждой поездке туда и обратно равна 40 %.

1. Какова вероятность того, что рабочий день закончится без получения штрафа?

2. Если штраф равен 150 долл., то каково среднее значение дневного штрафа?

Вероятность быть оштрафованным в одной поездке равна р = 0,4. Следовательно, вероятность того, что рабочий день закончится без штрафа, равна

р{х = 0} = С,°0 (0,4) (0, б)10 = 0,006047.

Это значит, что шанс закончить рабочий день без штрафа меньше одного процента. Средний штраф = 150М{*} = 80(гер) = 80 х 10 х 0,4 = 320 (долл.).

УПРАЖНЕНИЯ 12.4.1

1. Симметричная игральная кость бросается 10 раз. Какова вероятность того, что ни разу не выпадет четное число очков?

2. Пусть независимо бросаются пять симметричных монет. Какова вероятность того, что в точности одна из монет выпадет одной стороной, а остальные четыре - другой?

3. Гадалка утверждает, что по почерку она может предсказать, достигнет ли человек благосостояния на протяжении всей своей жизни. Для проверки этого попросили 10 миллионеров и 10 профессоров предоставить образцы их почерка. Затем эти образцы были представлены гадалке попарно - по одной подписи миллионера и профессора в каждой паре. Считается, что утверждение гадалки является правильным, если она сделала по меньшей мере восемь правильных предсказаний. Какова вероятность того, что утверждение гадалки будет удачным ?

4. Казино предлагает следующую игру. Вы, игрок, выбираете число от 1 до 6. Затем одновременно бросаются три игральные кости. Казино вам выплачивает столько долларов, сколько будет совпадений на костях с вашим выбранным числом. Если таких совпадений нет, то вы платите казино 1 долл. Каков ваш долговременный ожидаемый выигрыш в этой игре?

5. Предположим, что вы играете в следующую игру. Вы бросаете две игральные кости. Если выпавшие числа на костях различные, то вы теряете 10 центов. Если же эти числа совпадают, то вы получаете 50 центов. Каков ожидаемый выигрыш в этой игре?

6. Докажите приведенные выше формулы для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения.

12.4.2. Распределение Пуассона

Люди приходят в банк или магазин совершенно случайным образом. Это означает, что нет никакой возможности предсказать, когда и кто придет. Плотность вероятности случайной величины, которая равна количеству таких посещений на протяжении определенного периода времени, описывается с помощью распределения Пуассона.

Пусть х- количество событий (например, посещений банка или магазина), которые происходят на протяжении единицы времени (например, минуты или часа). Плотность вероятности распределения Пуассона задается формулой

Р{х = к} = -, 4 = 1,2,....

Математическое ожидание и дисперсия распределения Пуассона равны соответственно М{х} = Я и D{x) = Я. Из интуитивных соображений формула М{х} - Я должна означать среднее количество событий, происходящих за единицу времени. По существу, это так и есть: параметр Я определяет скорость, с которой происходят события (количество событий за единицу времени).

Распределение Пуассона широко используется в теории массового обслуживания (см. главу 17).

Пример 12.4.2

Заказы на ремонт небольших электродвигателей поступают в мастерскую случайным образом, примерно 10 заказов в день.

1. Каково среднее количество электродвигателей, которые поступают ежедневно в мастерскую?

2. Какова вероятность того, что на протяжении одного часа не поступит ни одного заказа, если мастерская открыта 8 часов в день?

Среднее количество заказов, которые поступают ежедневно в мастерскую, равно Я= 10. Для вычисления вероятности того, что на протяжении одного часа не поступит ни одного заказа, необходимо подсчитать скорость поступления заказов в час, т.е. в среднем Хчас = 10/8 = 1,25 заказа в час. Следовательно,

/>{нет заказов за 1 час} = -= -= 0,2865.

1 1 01 1

УПРАЖНЕНИЯ 12.4.2

1. Клиенты прибывают в учреждение обслуживания в соответствии с распределением Пуассона со скоростью четыре клиента в минуту. Какова вероятность того, что по крайней мере один клиент прибудет в любой заданный 30-секундный интервал времени?

2. Распределение Пуассона с параметром Я аппроксимирует биномиальное распределение с параметрами пир при условии, что п - достаточно большое положительное число, р - очень малое число, а Я примерно равно пр (с математической точки зрения это означает, что п -> °°, р - О и пр -> Я). Продемонстрируйте это на ситуации, когда известно, что изго-

товленная партия изделий содержит 1% брака. Вычислите вероятность того, что выборка объемом 10 изделий содержит не более одного бракованного изделия, использовав для этого сначала (точное) биномиальное распределение, а затем (приближенное) распределение Пуассона. Покажите, что такое приближение будет неприемлемым, если величина р будет увеличена, скажем, до 0,5.

3. Покупатели подходят к контрольной кассе со средней интенсивностью 20 человек в час.

a) Найдите вероятность того, что касса будет свободной.

b) Какова вероятность того, что в очереди перед кассой будет не менее 2 человек?

4. Докажите приведенные выше формулы для математического ожидания и дисперсии распределения Пуассона.

12.4.3. Отрицательное экспоненциальное распределение

Если число заявок, поступивших в учреждение за определенный период времени, удовлетворяет распределению Пуассона, то распределение интервалов времени между последовательными поступлениями заявок должно следовать отрицательному экспоненциальному (или просто экспоненциальному) распределению. В частности, если X есть скорость появления событий в распределении Пуассона, то распределение времени х между последовательными поступлениями определяется плотностью вероятности

f(x) = Xe, х>0. На рис. 12.3 показан график функции f(x).

Рис. 12.3. Плотность вероятности экспоненциального распределения

Математическое ожидание и дисперсия экспоненциального распределения равны

A# {*} = i, D{x} = ±.

Математическое ожидание М{х} согласуется с определением X. Если X - скорость, с которой происходят события, то 1/Х- средний интервал времени между последовательными событиями.