Пример 12.4.3

Автомобили прибывают на заправочную станцию случайно, в среднем каждые 2 минуты. Вычислите вероятность того, что интервал между последовательными прибытиями автомобилей не превысит 1 минуты.

Искомая вероятность имеет вид Р{х<А}, здесь А = 1 минута. Вычисление требуемой вероятности эквивалентно вычислению значения функции распределения случайной величины х.

Р{х < А} = jXedx = -е 0Л = 1 - е~и. о

Вычисляем скорость прибытия автомобилей.

X = -i прибытия в минуту.

Следовательно,

Р{х<1} = 1-е 0 =0,39.

УПРАЖНЕНИЯ 12.4.3

1. Магазин посещают жители как городской местности, так и сельской. Городские покупатели прибывают со скоростью 5 посетителей в минуту, а сельские - 7 посетителей в минуту. Прибытия покупателей являются случайными событиями. Определите вероятность того, что время между последовательными прибытиями посетителей будет меньше 5 секунд.

2. Докажите приведенные выше формулы для математического ожидания и дисперсии экспоненциального распределения.

12.4.4. Нормальное распределение

Нормальное распределение описывает многие случайные явления, которые происходят в каждодневной жизни, включая анализ счетов, распределение веса и роста людей и многое другое. Плотность вероятности нормального распределения задается формулой

f[x) = -F=e 2al , -~ < х < ~,

где М{х] = /л, D{x) = о2. Нормальное распределение с математическим ожиданием и стандартным отклонением собозначается как N(/u, о).

На рис. 12.4 показан график плотности f(x) нормального распределения. Как видим, плотность вероятности является симметричной функцией относительно математического ожидания ц.

Рис. 12.4. Плотность вероятности нормального распределения

Важность нормального распределения объясняется тем, что распределение среднего достаточно большой выборки, имеющей любое распределение, можно асимптотически аппроксимировать нормальным распределением. Это следует из представленной ниже теоремы.

Центральная предельная теорема. Пусть х1,х2,...,х11 - независимые, одинаково

распределенные случайные величины с математическим ожиданием /и и стандартным отклонением акаждая. Определим сумму

sn = xt+x2 +... + х .

При возрастании п (п - °°) распределение случайной величины sn является асимптотически нормальным с математическим ожиданием пц и дисперсией nd независимо от начального распределения величин х1,х1,...,х .

Центральная предельная теорема свидетельствует, в частности, о том, что среднее выборки объемом п, имеющей любое распределение, асимптотически является нормальным с математическим ожиданием jun дисперсией с?/п.

Функцию нормального распределения трудно представить в виде формулы, пригодной для практических расчетов. В связи с этим составлены специальные таблицы функции нормального распределения (см. табл. 1 в приложении В). Эти таблицы созданы для стандартного нормального распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной единице. Любую нормально распределенную случайную величину х с математическим ожиданием ц и дисперсией о* можно привести к стандартному виду путем замены

Отметим, что около 99 % площади под кривой плотности нормального распределения находится в интервале ц-Ъо<х< ц+Ъо. Этот факт известен под названием правило трех сигм .

Пример 12.4.4

Внутренний диаметр цилиндра должен иметь размер (спецификацию) 1±0,3 дюйма. Процесс механической обработки таких деталей подчиняется нормальному распределению с математическим ожиданием 1 и стандартным отклонением 0,1 дюйма. Требуется определить процент продукции, удовлетворяющей требованиям спецификации.

Пусть случайная величина х равна диаметру цилиндра. Вероятность того, что цилиндр будет удовлетворять требованиям спецификации, равна

Р{1 - 0,03 < х < 1 + 0,03} = Р{0,97 < х < 1,03}.

При =1и о = 0,1 эту вероятность можно выразить через стандартное нормальное распределение следующим способом.

Р{0,97 < х < 1,03} = * z £= {-0,3 S z < 0,3} =

= P{z < 0,3} - />{z < -0,3} = P{z < 0,3} -[l - P{z < 0,3}] = = 2P{z < 0,3} -1 = 2x0,6179-1 = 0,2358.

На рис. 12.5 заштрихованная область соответствует искомой вероятности. Заметим, что равенство Р{г < -0,3} = 1 - P{z < 0,3} имеет место в силу симметрии функции плотности вероятностей. Величина 0,6179 (=Р{г<0,3}) взята из таблицы для нормального распределения (табл. 1 приложения В).

-0,3 0 0,3

Рис. 12.5. Вычисление вероятности Р(-0,3<х<0,3} стандартного нормального распределения

УПРАЖНЕНИЯ 12.4.4

1. Инженерный колледж американского университета набирает студентов из числа выпускников средней школы, которые по стандартному тесту ACT для поступающих в колледжи имеют не менее 26 баллов. Результаты тестирования выпускников являются нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 22 балла и стандартным отклонением 2 балла.

a) Определите процент выпускников средней школы, которые являются потенциальными студентами инженерного колледжа.

b) Определите процент выпускников школы, которые не будут приняты в инженерный колледж, если университет не примет ни одного из них с количеством баллов, меньше 17.

2. Вес людей, которые хотят совершить прогулку на вертолете в парке аттракционов, является случайной величиной с математическим ожиданием 180 фунтов и стандартным отклонением 15 фунтов. Вместимость вертолета составляет пять человек, максимальная грузоподъемность - 1000 фунтов. Какова вероятность того, что вертолет не взлетит с пятью пассажирами на борту? (Совет. Используйте центральную предельную теорему.)