рочных данных (в поле ввода Входной интервал вводится А8:Е19) и границ интервалов (в поле ввода Интервал карманов вводится F8:F19), как показано на рис. 12.7. Также в группе Параметры вывода установите флажки Интегральный процент и Вывод графика. После щелчка на кнопке ОК на новом рабочем листе будет построена гистограмма (см. рис. 12.8).

$A$8:$E$19

Гистограмма

Входи* данные Вводной интервал-

интервал карманов

Г rvJeixM

Параметры вывода <~ Выходной интервал I & Новый рабочий лист: <~ Новая рабочая книга

Г Парато (отсортированная гистограмма) Р Интеграгьиьй процент 1!вьеод графика

Отмена

Справка

Рис. 12.7. Входные данные из примера 12.5.1 и диалоговое окно Гистограмма

Критерий согласия. С помощью этого критерия можно проверить, является ли выборка, на основе которой получено эмпирическое распределение, представителем конкретного вероятностного распределения. Начальную оценку можно сделать, сравнив значения эмпирической функции распределения и предполагаемой теоретической функции распределения. Если значения этих функций чрезмерно не отличаются друг от друга, то, вероятно, рассматриваемая выборка получена из предложенного теоретического распределения. Это начальное предчувствие может быть в дальнейшем подтверждено с помощью критерия согласия.

14 Еще О 100.00%i

Рис. 12.8. Гистограмма для примера 12.5.1

Пример 12.5.2

Проверим данные из примера 12.5.1 на принадлежность предполагаемому экспоненциальному распределению.

Первой задачей является уточнение параметров плотности вероятности и функции распределения, которые определяют теоретическое распределение. Из примера 12.5.1 следует, что Т = 3,934 минуты, поэтому Я. = 1/3,934 = 0,2542 для предполагаемого экспоненциального распределения (см. раздел 12.4.3). Соответствующая плотность вероятности и функция распределения имеют следующий вид.

/(г) = 0,2542е°-2542, />0,

F{T)=\f(t)dt = \-e2saT, Т>0.

Используем теперь функцию распределения F(T) для вычисления ее значений в точках Т= 0,5, 1,5, 11,5 и сравнения их с эмпирическими значениями F i = 1, 2,12, которые вычислены в примере 12.5.1. Например,

F(0,5) = l-e-(0-2542> ,-5)*0>12.

На рис. 12.9 представлены результаты сравнения. Просмотрев два графика, можем сделать вывод, что экспоненциальное распределение действительно приемлемо для аппроксимации распределения имеющихся данных.

Следующий шаг состоит в применении критерия согласия. Имеется два таких критерия: 1) критерий Колмогорова-Смирнова и 2) критерий /2 (критерий хи-квадрат). Здесь мы ограничимся обсуждением критерия /2.

Критерий х2 основан на измерении отклонений между эмпирическими и теоретическими частотами, соответствующими различным интервалам построенной гистограммы. В частности, теоретическая частота и,-, соответствующая наблюдаемой частоте о, интервала /, вычисляется по формуле

и,=n)/(t)dt = r,(F(Il)-F(l)) = 60{e-е~° >).

Глава 12. Основы теории вероятностей Эмпирическая функция распределения

Функция экспоненциального распределения

О 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5

t(минуты)

Рис. 12.9. Сравнение эмпирической и теоретической функций распределения

При заданных о, и ni для каждого интервала i мера отклонения между эмпирическими и теоретическими частотами определяется следующей формулой.

Когда количество интервалов N величина % асимптотически стремится к плотности вероятности -распределения с N - k - 1 степенями свободы, где k - число параметров, оцененных на основе исходной информации и использованных для определения теоретического распределения.

Нулевая гипотеза, утверждающая, что наблюденная выборка получена из теоретического распределения f(t), принимается, если %2 <xiv-*-i.i-a> гДе jd-*-u-a - значение х* при N - k-1 степенях свободы, а- уровень значимости критерия. Вычисления в соответствии с критерием показаны в следующей таблице.

Интервал Наблюдаемая частота, о, Теоретическая частота, л, у