Существует практическое правило: ожидаемое значение теоретической частоты для любого интервала должно быть не менее 5. Это правило всегда можно выполнить путем объединения последовательных интервалов. В приведенной таблице правило требует формирования единого интервала (4, °°). Количество интервалов становится равным iV=5. Поскольку на основе исходных данных оценивается только один параметр (а именно Л), степень свободы величины х должна равняться 5-1-1 = 3. Если выберем уровень значимости а= 0,05, таблица значений величины (табл. 3 приложения В) дает критическое значение Хз005 = 7,815. Так как значение величины х (= 1,705) меньше критического, мы принимаем гипотезу, что выборка получена из экспоненциального распределения.

Вычисления предыдущей таблицы можно легко выполнить в Excel на основе данных, полученных при построении гистограммы (рис. 12.8). На рис. 12.10 показано, как решается эта задача. Здесь данные в столбцах А, В и С получены при построении гистограммы (формат данных в столбце С изменен на обычный десятичный формат). Формулы, по которым проводятся вычисления в столбцах D:G, совпадают с формулами критерия j(2.

Рис. 12.10. Вычисления критического значения критерия согласия

УПРАЖНЕНИЯ 12.5.1

1. Следующие данные представляют время (в минутах) между прибытием клиентов в некий центр обслуживания.

a) Постройте три гистограммы с длиной интервалов 0,5, 1 и 1,5 минуты соответственно.

b) Сравните графически эмпирическую функцию распределения с аналогичной функцией экспоненциального распределения.

c) Проверьте гипотезу о том, что данная выборка взята из экспоненциального распределения. Используйте 95%-ный доверительный уровень (т.е. 5% -ный уровень значимости).

d) Какая из трех гистограмм является наилучшей для проверки нулевой гипотезы о том, что выборочные значения подчиняются экспоненциальному закону?

2. Следующие данные представляют время (в секундах), необходимое для передачи сообщения.

При 95%-ном доверительном уровне проверьте гипотезу о том, что данная выборка имеет равномерное распределение, при этом используйте следующую дополнительную информацию о теоретическом равномерном распределении.

a) Распределение сосредоточено на интервале от 0 до 100.

b) Интервал, на котором сосредоточено распределение, вычисляется из данных выборки.

c) Верхний предел интервала, на котором сосредоточено распределение, равен 100, а нижний должен быть определен из данных выборки.

3. Автоматический прибор используется для определения интенсивности движения на оживленном перекрестке. Прибор фиксирует время прибытия автомобиля на перекресток по непрерывной временной шкале, начиная с нуля. Приведенная ниже таблица содержит (накопленное) время (в минутах) прибытия на перекресток первых 60 автомобилей. Постройте подходящую гистограмму для проверки гипотезы о том, что данные выборки имеют экспоненциальное распределение. Используйте 95% -ный доверительный уровень.