Определим величину а(0 < а< 1) как константу сглаживания, и пусть известны значения временного ряда для прошедших t моментов времени у у2, уг Тогда оценка ytl для момента времени t + 1 вычисляется по формуле

Коэффициенты при yt, yt v yt 2, ... постепенно уменьшаются, тем самым эта процедура приписывает больший вес последним (по времени) данным.

Формулу для вычисления у можно привести к следующему (более простому) виду:

Таким образом, значение у + можно вычислить рекуррентно на основании значения у. Вычисления в соответствии с этим рекуррентным уравнением начинаются с того, что пропускается оценка у* для t = 1 и в качестве оценки для t = 2 принимается наблюденная величина для t=l, т.е. у\ = у,. В действительности же для начала можно использовать любую разумную процедуру. Например, часто в качестве оценки у* берется усредненное значение yt по приемлемому числу периодов в начале временного ряда.

Выбор константы сглаживания является решающим моментом при вычислении значения прогнозируемой величины. Большее значение а приписывает больший вес последним наблюдениям. На практике значение берут в пределах от 0,01 до 0,30.

Пример 13.2.1

Применим метод экспоненциального сглаживания к данным из примера 13.1.1 при =0,1.

При вычислениях пропускается у и принимается, что у* = у, = 46 единиц. Для примера последовательно вычислим

у, = ау, +(1-а)у] =0,1x56 + 0,9x46 = 47 ,

У\ =аУз + (1- )>з =0,1x54 + 0,9x47 = 47,7 .

На рис. 13.2 показано диалоговое окно средства Excel Экспоненциальное сглаживание и результаты его применения к данным примера 13.2.1. Для работы с этим средством надо выполнить такие же действия, как при работе со средством Скользящее среднее (см. раздел 13.1). Отметим, что в диалоговом окне Экспоненциальное сглаживание в поле Фактор затухания задается не величина константы сглаживания а, а величина 1- а.

Из приведенных данных следует, что оценка для t = 25 равна

у2$ = ау,4 +(1-а)у*4 =0,1x72 + 0,9x57,63 = 59,07 единиц.

Эта оценка значительно отличается от полученной с помощью метода скользящего среднего (68 единиц). Большее значение для отдаст оценку, более близкую к оценке метода скользящего среднего.

У у =аУ, +(1 -а){ау, , +а(1-а)у, , +а(1 -а)2 у, 3+..] = ау, +(1-а) у.

Экспоненциальное сглаживание

Входные данные Вводной интервал, фактор затухания: Г Цвтхи

Параметры въезда Выходной интервал:

$В$2:$8$25 09

Отмена

Сдэавка

*С$2

I? Вывод [рафика

Г Стандартные остренноети

1 2 3 4 5 6 7

46 #Н/Д 56

54 43 57 56 67

ABC 1 Месяц t Спрос yt Прогноз

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

62 50 56 47 56 54 42 64 60 70 66 57 55

46 47 47.71 47 23, 48 207 48 9863

50 78767 51 9089

51 71801

52 14621

51 63159

52 06843 52 26159 51.23543 52 51189

53 2607 54 93463 56 04117 56 13705

Экспоненциальное сглаживание

1 4

7 10 13 16 19 Точка данных

Рис. 13.2. Применение экспоненциального сглаживания к данным примера 13.2.1

УПРАЖНЕНИЯ 13.2

1. Примените метод экспоненциального сглаживания для данных из упражнения 13.1.2 при а =0,2.

2. Примените метод экспоненциального сглаживания для данных из упражнения 13.1.3 при а= 0,2.

3. Примените метод экспоненциального сглаживания для данных из упражнения 13.1.4 при а= 0,2.

4. Примените метод экспоненциального сглаживания для данных из упражнения 13.1.5 при а= 0,2.

13.3. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Регрессионный анализ определяет связь между зависимой переменной (например, спросом на продукцию) и независимой переменной (например, временем). Часто применяемая формула регрессии, описывающая зависимость между переменной у и независимой переменной х, имеет вид

у = Ь0 + Ьгх + Ь2хг + ... + Ьпх + £,

где Ь0, Ь},Ьа - неизвестные параметры. Случайная ошибка £ имеет нулевое математическое ожидание и постоянную дисперсию (т.е. дисперсия случайной величины одинакова для всех наблюдаемых значений у).

Самая простая регрессионная модель предполагает, что зависимая переменная линейна относительно независимой переменной, т.е.

у = а + Ьх.

Константы а и Ь определяются из временного ряда с использованием метода наименьших квадратов, в соответствии с которым находятся значения этих констант, доставляющих минимум сумме квадратов разностей между наблюдаемыми и вычисленными величинами. Пусть (у х) представляет 1-ю точку исходных данных временного ряда, I = 1, 2,..., п. Определим сумму квадратов отклонений между наблюдаемыми и вычисленными величинами.

Значения коэффициентов а и Ь определяются из соответствующих условий минимума функции S, которые представимы в виде следующих уравнений.

f = -2>,-a-) = 0,

- = -2Y(v- a-fcxW=0.

После алгебраических преобразований получаем следующее решение данных уравнений.

Хул- 7* ь = -,

а = у - Ьх,

Ь, ±У,

гдел;= --, у=--. п п

Приведенные соотношения показывают, что сначала необходимо вычислить Ь, а затем величину коэффициента а.

Вычисленные значения а и b имеют силу при любом вероятностном распределении случайных величин yt. Однако если yt являются нормально распределенными случайными величинами с одинаковым стандартным отклонением, можно установить доверительный интервал для среднего значения оценки при х = х° (т.е. для у0 = а + Ьх°) в виде интервала