Общая структура метода анализа иерархий может включать несколько иерархических уровней со своими критериями. Предположим в примере 14.1.1, что сестра-близнец Мартина Джейн также получила полную стипендию от трех университетов. Однако их родители ставят условие, что дети должны учиться в одном университете, тогда они смогут пользоваться одним автомобилем. На рис. 14.2 приведена структура задачи выбора решения, которая теперь включает два иерархических уровня со своими критериями. Величины р и q (предположительно равные) на первом иерархическом уровне представляют собой весовые коэффициенты, которые приписываются точке зрения Мартина и Джейн относительно процесса выбора соответственно. Второй иерархический уровень использует веса (р р2) и (<? q2) для отображения индивидуальных точек зрения Мартина и Джейн относительно критериев местонахождения и академической репутации каждого университета. Остальная часть структуры принятия решения может быть интерпретирована аналогично предыдущему примеру. Заметим, что p + q = l, р1+р2=1, q, + q2 = 1, pu+ р12+ р13 = 1, р21+ р22+ р23 = 1, qn + ql2 + ql3=l, q2l + q!2 + q23 = 1. Определение комбинированного веса для университета А, представленное на рис. 14.2, демонстрирует, каким образом вычисляются эти показатели.

Решение:

Выбор университета

Критерий иерархии 1-го уровня:

Мартин (р)

Джейн (q)

Критерий иерархии 2-го уровня:

Местоположение,) Репутация (р2) Местоположение (?,) Репутация)

Альтернативы:

Ун. А =р(р, хр +р2 хрп) + q(qx х qn + q2 хqn) Рис. 14.2. Расширенная иерархия принятия решений примера 14.1.1

УПРАЖНЕНИЕ 14.1.1

1. Пусть для задачи выбора университета Мартином и Джейн установлены следующие значения весовых коэффициентов.

р = 0,5, 9 = 0,5,

р, = 0,17, р2 = 0,83,

ри = 0,129, р,2 = 0,277, р13 = 0,594,

р = 0,545, р22 = 0,273, р23 = 0,182,

= 0,3,9, = 0,7,

?11-0,2,?11-0,3,?1,-0,5, ?я = 0,5,ди-0,2,?я-0,3.

Основываясь на этой информации, оцените с помощью комбинированных весов каждый из трех университетов.

Определение весовых коэффициентов. Сложность метода анализа иерархий заключается в определении относительных весовых коэффициентов (таких, как использованные в примере 14.1.1) для оценки альтернативных решений. Если имеется п критериев на заданном уровне иерархии, соответствующая процедура создает матрицу А размерности пхп, именуемую матрицей парных сравнений, которая отражает суждение лица, принимающего решение, относительно важности разных критериев. Парное сравнение выполняется таким образом, что критерий в строке i (i = 1, 2,

п) оценивается относительно каждого из критериев, представленных п столбцами. Обозначим через а, элемент матрицы А, находящийся на пересечении i-й строки и )-го столбца. В соответствии с методом анализа иерархий для описания упомянутых оценок используются целые числа от 1 до 9. При этом а = 1 означает, что i-й и ;-й критерии одинаково важны, atj = 5 отражает мнение, что i-й критерий значительно важнее, чем ;-й, a atj = 9 указывает, что i-й критерий чрезвычайно важнее /-го. Другие промежуточные значения между 1 и 9 интерпретируются аналогично. Согласованность таких обозначений обеспечивается следующим условием: если at~k, то автоматически ajt = 1/k. Кроме того, все диагональные элементы а, матрицы А должны быть равны 1, так как они выражают оценку критерия относительно самих себя.

Пример 14.1.2

Покажем, как определяется матрица сравнения А для задачи выбора Мартина из примера 14.1.1. Начнем с главного иерархического уровня, который имеет дело с критериями академической репутации университета и его местонахождения. С точки зрения Мартина, академическая репутация университета значительно важнее его местонахождения. Следовательно, он приписывает элементу (2, 1) матрицы А значение 5, т.е. а21 = 5. Это автоматически предполагает, что а12= 1/5. Обозначив через R и L критерии репутации университета и его местонахождения, можно записать матрицу сравнения следующим образом.

Относительные веса критериев Rw. L могут быть определены путем деления элементов каждого столбца на сумму элементов этого же столбца. Следовательно, для нормализации матрицы А делим элементы первого столбца на величину 1 + 5 = 6, элементы второго- на величину 1 + 1/5 = 1,2. Искомые относительные веса wR и wL критериев вычисляются теперь в виде средних значений элементов соответствующих строк нормализованной матрицы А. Следовательно,

L R Средние значения элементов строк

L (ОМ 0,П\ wR =(0,83 + 0,83)/2 = 0,83,

~R (,0,83 0,83 J w, =(0,17 + 0,17)/2 = 0,17.

Врезультате вычислений получили wR = 0,83 и wL = 0,17, т.е. те веса, которые показаны на рис. 14.1. Столбцы матрицы N одинаковы, что имеет место лишь в случае, когда лицо, принимающее решение, проявляет идеальную согласованность в определении элементов матрицы А. Этот тезис детальнее обсуждается ниже. Относительные веса альтернативных решений, соответствующих университетам А, В и С, вычисляются в пределах каждого критерия R и L с использованием следующих двух матриц сравнения.

А, = В

2 2 5 2

Суммы элементов столбцов =[8, 3,5, 1.7]

А В С

А И С

Суммы элементов столбцов =[1.83, 3,67, 5.5],

Элементы матриц \R и AL определены на основе суждений Мартина, касающихся относительной важности трех университетов.

При делении элементов каждого столбца матриц AR и AL на сумму элементов этих же столбцов получаем следующие нормализованные матрицы.

N, =В

: В С

ABC 0,125 0,143 0.118 0,250 0,286 0,294 0,625 0,571 0,588

ABC 0,545 0,545 0,545 0,273 0,273 0,273 10,182 0.182 0,182

Средние значения элементов строк wIA =(0,125 + 0,143 + 0,118)/3 = 0,129, wIB = (0,250 + 0,286 + 0,294) /3 = 0,277, w . = (0,625 + 0,571 + 0,588) / 3 = 0,594.

Средние значения элементов строк Wra = (0,545 + 0,545 + 0,545) / 3 = 0,545, wRB = (0,273 + 0,273 + 0,273) / 3 = 0,273, wRC =(0,182 + 0,182 + 0,182)/3 = 0.182.

Величины (wRA, wRB, wRC) = (0,545,0,273,0,182) дают соответствующие веса для университетов А, В и С с точки зрения академической репутации. Аналогично величины (wm> wi.b, wlc) = (0,129, 0,277, 0,594) являются относительными весами, касающимися местонахождения университетов.

Согласованность матрицы сравнений. В примере 14.1.2 мы отмечали, что все столбцы нормализованных матриц N и N идентичны, а столбцы матрицы ISL таковыми не являются. Одинаковые столбцы указывают на то, что результирующие относительные веса сохраняют одно и то же значение независимо от того, как выполняется сравнение. В этом случае говорят, что исходные матрицы сравнения А и А, являются согласованными. Следовательно, матрица AL не является таковой.

Согласованность означает, что решение будет согласовано с определениями парных сравнений критериев или альтернатив. С математической точки зрения