согласованность матрицы А означает, что atJajk = alh для всех I, j и к. Например, в матрице Ая из примера 14.1.2 а13 = 3 и а12а23 = 2 х 3/2 = 3. Свойство согласованности требует линейной зависимости столбцов (и строк) матрицы А. В частности, столбцы любой матрицы сравнений размерностью 2x2 являются зависимыми, и, следовательно, такая матрица всегда является согласованной. Не все матрицы сравнений являются согласованными. Действительно, принимая во внимание, что такие матрицы строятся на основе человеческих суждений, можно ожидать некоторую степень несогласованности, и к ней следует относиться терпимо при условии, что она не выходит за определенные допустимые рамки.

Чтобы выяснить, является ли уровень согласованности допустимым , необходимо определить соответствующую количественную меру для матрицы сравнений А. В примере 14.1.2 мы видели, что идеально согласованная матрица А порождает нормализованную матрицу N, в которой все столбцы одинаковы:

Отсюда следует, что матрица сравнений А может быть получена из матрицы N путем деления элементов i-ro столбца на wt (это процесс, обратный к нахождению матрицы N из А). Итак, получаем следующее.

Используя приведенное определение матрицы А, имеем

1 -

1

В компактной форме условие согласованности матрицы А формулируется следующим образом. Матрица А будет согласованной тогда и только тогда, когда

Aw = =nw,

где w - вектор-столбец относительных весов wt, i = 1, 2, п.

Когда матрица А не является согласованной, относительный вес и>1 аппроксимируется средним значением п элементов i-й строки нормализованной матрицы N (см. пример 14.1.2). Обозначив через w вычисленную оценку (среднее значение), можно показать, что

Aw = n ,w,

где птлу.>п. В этом случае, чем ближе nmtI к га, тем более согласованной является матрица сравнения А. В результате в соответствии с методом анализа иерархий вычисляется коэффициент согласованности в виде

п - п

£1 = ш --коэффициент согласованности матрицы А,

п -1

1.98(i-2)

RI =-1-- - стохастический коэффициент согласованности матрицы А.

Стохастический коэффициент согласованности RI определяется эмпирическим путем как среднее значение коэффициента CI для большой выборки генерированных случайным образом матриц сравнения А.

Коэффициент согласованности CR используется для проверки согласованности матрицы сравнения А следующим образом. Если CR < 0,1, уровень несогласованности является приемлемым. В противном случае уровень несогласованности матрицы сравнения А является высоким, и лицу, принимающему решение, рекомендуется проверить элементы парного сравнения ац матрицы А в целях получения более согласованной матрицы.

Значение пга>х вычисляется на основе матричного уравнения Aw = nw, при этом

нетрудно заметить, что i-e уравнение этой системы имеет вид:

Za w, = 7i vv i = 1, 2.....п. ij J max i i j

Поскольку Х-.,Щ = > легко проверить, что

f n \ It

Это значит, что величину ramax можно определить путем вычисления вектор-столбца Aw с последующим суммированием его элементов.

Пример 14.1.3

В примере 14.1.2 матрица At является несогласованной, так как столбцы матрицы NL неодинаковы. Требуется исследовать согласованность матрицы At.

Вычислим значение их- Из данных примера 14.1.2 имеем

w, = 0,129, w2 = 0,277, щ = 0,594.

Следовательно,

Отсюда получаем

тах= 0,3863 + 0,8320 + 1,7930 = 3,0113. Следовательно, для п = 3 имеем

С/ = 5=30113-3=0,005б5, п-\ 3-1

alM( -2) = Ug8xl п 3

сл = а = о1оо5б5 = 0856

RI 0,66

Так как С/? < 0,1, уровень несогласованности матрицы А£ является приемлемым.

Реализация метода анализа иерархий в Excel. Шаблон Excel chl4AHP.xls разработан для решения задач принятия решений, у которых максимальный размер матриц сравнения не превышает 8x8. Так же, как и в шаблонах Excel, описанных в главах 10 и 11, здесь пользователю необходимо некоторые действия выполнить вручную.

На рис. 14.3 показано применение этого шаблона для решения задачи примера 14.1.22. Матрицы сравнения вводятся по одной за раз в верхнюю часть раздела входных данных. Порядок, в котором вводятся матрицы сравнения не важен, тем не менее, будет больше пользы, если рассматривать их в порядке иерархии. После ввода коэффициентов матрицы сравнения в разделе выходных результатов в нижней части рабочего листа появится соответствующая нормированная матрица, а также ее коэффициент согласованности CR. Далее вы должны скопировать значения весов if в столбце J и вставить их в область Solution summary (правая часть таблицы). Для вставки не забудьте выполнить команду ВставкаОСпециальная вставкаЗначения, чтобы скопировать значения, а не формулы. Эти действия следует повторять для всех матриц сравнения.

5 ё f j j ТГ г

ЛНР-Analytic Hierarchy Process

Input: Comparison matrix

0.5 1

0.2 0.5 1

Output: Normalized martix

nMax= 3 00746

CR= D 0056

0.12500 0.14286 0.11765 0.25000 0.28571 0.29412 0.62500 0 57143 0.58824

Weight

012850 0 27661 0.59489

Solution summary

Final ranking

UA= 0.47596 UB= 0.27337 UC= 0.25066

Рис. 14.3. Решение в Excel задачи примера 14.1.2

Из-за ошибок округления результаты, полученные в Excel, немного отличаются от тех, которые были получены в примерах 14.1.2 и 14.1.3 (в Excel получены более точные результаты).