17. Критерий предельного уровня. Фирма для технических целей использует в одном из своих производственных процессов химические препараты (химикалии). Срок годности этих препаратов составляет один месяц, после чего оставшаяся их часть уничтожается. Объем используемых фирмой химических препаратов (в галлонах) является случайной величиной, изменяющейся в соответствии со следующим распределением.

Химикалии поступают в производство в начале каждого месяца. Фирма планирует определить количество химических препаратов, удовлетворяющих двум конфликтующим критериям (или предельным уровням): среднее число оставшихся химикалий не должно превышать 20 галлонов в месяц, и среднее количество недостающих химикалий не должно превышает 40 галлонов в месяц.

14.2.2. Другие критерии ожидаемого значения

В этом разделе рассматриваются две модификации критерия ожидаемого значения. Первая состоит в определении апостериорных вероятностей на основе эксперимента над исследуемой системой, вторая - в определении полезности реальной стоимости денег.

Апостериорные вероятности Байеса. Распределения вероятностей, которые используются при формулировке критерия ожидаемого значения, получаются, как правило, из накопленной ранее информации (см. раздел 12.5). В некоторых случаях оказывается возможным пересчитать эти вероятности с помощью текущей и/или полученной ранее информации, которая обычно основывается на исследовании выборочных (или экспериментальных) данных. Получаемые при этом вероятности называют апостериорными (или байесовскими), в отличие от априорных, полученных из исходной информации. Следующий пример показывает, как рассмотренный в разделе 14.2.1 критерий ожидаемого значения можно модифицировать так, чтобы воспользоваться новой информацией, содержащейся в апостериорных вероятностях.

Пример 14.2.2

В примере 14.3.1 априорные вероятности 0,6 и 0,4 повышения и понижения котировок акций на бирже были определены из наличных публикаций финансового характера. Предположим, вместо того, чтобы полностью полагаться на эти публикации, вы решили провести личное исследование путем консультаций с другом, который хорошо разбирается в вопросах, касающихся фондовой биржи. Друг высказывает общее мнение за или против инвестиций. Это мнение в дальнейшем определяется количественно следующим образом. При повышении котировок его мнение с 90% -ной вероятностью будет за , при снижении котировок вероятность его мнения за уменьшится до 50 %. Каким образом можно извлечь пользу из этой дополнительной информации?

Мнение друга фактически представляет условные вероятности за-против при заданных состояниях природы в виде повышения и понижения котировок. Введем следующие обозначения:

v, - мнение за ,

i -мнение против ,

в противном случае.

т, - повышение котировок, т2 - понижение котировок.

Мнение друга можно записать в виде вероятностных соотношений следующим образом.

P{v1/ 1} = 0,9, P{v,/h2} = 0,1,

/ ;-,} = 0,5, P{v2\m,} = 0,5.

С помощью этой дополнительной информации задачу выбора решения можно сформулировать следующим образом.

1. Если мнение друга за , акции какой компании следует покупать - А или В?

2. Если мнение друга против , то, опять-таки, - акции какой компании следует покупать - А или В?

Рассматриваемую задачу можно представить в виде дерева решений, показанного на рис. 14.5. Узлу 1 здесь соответствует случайное событие (мнение друга) с соответствующими вероятностями за и против . Узлы 2 и 3 представляют выбор между компаниями А и В при известном мнении друга за или против соответственно. Узлы 4-7 соответствуют случайным событиям, связанным с повышением и понижением котировок.

Инвестиции в А

Мнение за (v,)

Инвестиции в В

Повышение котировок (т0 P{mx\vx} =0.730

Понижение котировок (т2)

/>{m2vi} =0.270 Повышение котировок (т,) P{m1\vi} = 0.730

Инвестиции в А

Понижение котировок (т2) P{m2\v{) =0.270

Повышение котировок (mj) P{w1v2} =0.231

Понижение котировок (т2)

P{m2\v2} = 0.769 Повышение котировок (т{) Р{т2) =0.231

Понижение котировок (т2) P{m2\v2} = 0.769

Рис. 14.5. Дерево решений с апостериорными вероятностями

Мнение против (v2)

Инвестиции в В

$5000

-$2000 $1500

$500 $5000

-$2000 $1500

$500

Для оценки различных альтернатив, показанных на рис. 14.5, необходимо вычислить апостериорные вероятности P{mt\ i}, указанные на соответствующих ветвях,

выходящих из узлов 4-7. Эти апостериорные вероятности вычисляются с учетом дополнительной информации, содержащейся в рекомендациях друга, с помощью следующих действий.

Шаг 1. Условные вероятности P{i>. т} для данной задачи запишем следующим образом.

Шаг 2. Вычисляем вероятности совместного появления событий.

P{mt, v} = P{vj\ m)P{mj} для всех / и j.

При заданных априорных вероятностях Р{ш,} = 0,6 и Р{т2) = 0,4 вероятности совместного появления событий определяются умножением первой и второй строк таблицы, полученной на шаге 1, на 0,6 и 0,4 соответственно. В результате имеем следующее.

Сумма всех элементов этой таблицы равна 1. Шаг 3. Вычисляем абсолютные вероятности.

P{v;}= £ />{/h,.,v).} для всех,/.

но всем /

Эти вероятности получаются путем суммирования элементов соответствующих столбцов таблицы, полученной на шаге 2. В итоге имеем следующее.

Шаг 4. Определяем искомые апостериорные вероятности по формуле

Эти вероятности вычисляются в результате деления каждого столбца таблицы, полученной на шаге 2, на элемент соответствующего столбца таблицы, вычисленной на шаге 3, что приводит к следующим результатам (округленным до трех десятичных знаков).

V1 v2