с вероятностью 0,6. Инвестиция в предприятие II может принести прибыль в 2000 долл. с вероятностью 0,6 или вовсе не принести прибыли с вероятностью 0,4. Используя функцию полезности инвестора А, построенную в предыдущем пункте, и критерий ожидаемой полезности, определите предприятие, которое следует выбрать инвестору А. Каково ожидаемое денежное значение, соответствующее выбранному предприятию (используйте линейную интерполяцию функции полезности)?

d) Повторите упражнение предыдущего пункта для инвестора В.

14.3. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Принятие решений в условиях неопределенности, как и в условиях риска, требует определения альтернативных действий, которым соответствуют платежи, зависящие от (случайных) состояний природы. Матрицу платежей в задаче принятия решений с т возможными действиями и п состояниями природы можно представить следующим образом.

Элемент а, представляет i-e возможное решение, а элемент st- j-e состояние природы. Плата (или доход), связанная с решением а, и состоянием st, равна t>(a s;).

Отличие между принятием решений в условиях риска и неопределенности состоит в том, что в условиях неопределенности вероятностное распределение, соответствующее состояниям s;, /=1,2, п, либо неизвестно, либо не может быть определено. Этот недостаток информации обусловил развитие следующих критериев для анализа ситуации, связанной с принятием решений.

1. Критерий Лапласа.

2. Минимаксный критерий.

3. Критерий Сэвиджа.

4. Критерий Гурвица.

Эти критерии отличаются по степени консерватизма, который проявляет индивидуум, принимающий решение, перед лицом неопределенности.

Критерий Лапласа опирается на принцип недостаточного основания4, который гласит, что, поскольку распределение вероятностей состояний P(s/) неизвестно, нет причин считать их различными. Следовательно, используется оптимистическое предположение, что вероятности всех состояний природы равны между собой, т.е. P{s,} = P{s2} = ... = P{sJ = 1/п. Если при этом у(а sy) представляет получаемую прибыль, то наилучшим решением является то, которое обеспечивает

4 Этот принцип впервые сформулирован Я. Бернулли. - Прим. перев.

Если величина v(at, sy) представляет расходы лица, принимающего решение, то оператор max заменяется на min .

Максиминный (минимаксный) критерий основан на консервативном осторожном поведении лица, принимающего решение, и сводится к выбору наилучшей альтернативы из наихудших. Если величина v(at, sy) представляет получаемую прибыль, то в соответствии с максиминным критерием в качестве оптимального выбирается решение, обеспечивающее

naxjminv.Sj jj.

Если величина v(at, sf) представляет потери, используется минимаксный критерий, который определяется следующим соотношением.

ггаптаху(а 5.

Критерий Сэвиджа стремится смягчить консерватизм минимаксного (максиминного) критерия путем замены матрицы платежей (выигрышей или проигрышей) v(at, s) матрицей потерь riat, s}, которая определяется следующим образом.

maxjv(at,s;)}-v(a,.,s;), если v-доход, vaSj)-rnin{v(et,S;)}, если v-потери.

Чтобы показать, как критерий Сэвиджа смягчает минимаксный (максиминный) критерий, рассмотрим следующую матрицу платежей и(а , sy):

Применение минимаксного критерия приводит к тому, что решение а2 с фиксированными потерями в 10000 долл. является предпочтительным. Однако можно выбрать и av так как в этом случае существует возможность потерять лишь 90 долл., если реализуется состояние s2, при потенциальном выигрыше 11 000 долл.

Посмотрим, какой результат получится, если в минимаксном критерии вместо матрицы платежей v(ajt s) использовать матрицу потерь rias}.

Как видим, минимаксный критерий, применяемый к матрице потерь, приводит к выбору решения а, в качестве предпочтительного.

Рассмотрим теперь критерий Гурвица. Этот критерий охватывает ряд различных подходов к принятию решений - от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного (консервативного). Пусть 0 < а< 1 и величины v(aj, представляют доходы. Тогда решению, выбранному по критерию Гурвица, соответствует

max а max v(an sf) + (1 - а) min v.sj.

Параметр a- показатель оптимизма. Если ог= 0, критерий Гурвица становится консервативным, так как его применение эквивалентно применению обычного минимаксного критерия. Если а= 1, критерий Гурвица становится слишком оптимистичным, ибо рассчитывает на наилучшие из наилучших условий. Мы можем конкретизировать степень оптимизма (или пессимизма) надлежащим выбором величины огиз интервала [0, 1]. При отсутствии ярко выраженной склонности к оптимизму или пессимизму выбор а= 0,5 представляется наиболее разумным.

Если величины и(а s) представляют потери, то критерий принимает следующий вид:

niin j a nun v (а;, ) + (1 - а) max v (а sy Н.

Пример 14.3.1

Национальная школа выживания подбирает место для строительства летнего лагеря в центре Аляски в целях тренировки людей на выживание в условиях дикой природы. Школа считает, что число участников сбора может быть 200, 250, 300 или 350 человек. Стоимость летнего лагеря будет минимальной, поскольку он строится для удовлетворения только определенных небольших потребностей. Отклонения в сторону уменьшения или увеличения относительно идеальных уровней потребностей влекут за собой дополнительные затраты, обусловленные строительством избыточных (неиспользуемых) мощностей или потерей возможности получить прибыль в случае, когда некоторые потребности не удовлетворяются. Пусть переменные a-at представляют возможные размеры лагеря (на 200, 250, 300 или 350 человек), а переменные 5,-54 - соответствующее число участников сбора. Следующая таблица содержит матрицу стоимостей (в тысячах долларов), относящуюся к описанной ситуации.

Описанная ситуация анализируется с точки зрения четырех рассмотренных выше критериев.

Критерий Лапласа. При заданных вероятностях P{s = 1/4, j= 1, 2, 3, 4, ожидаемые значения затрат для различных возможных решений вычисляются следующим образом.

М{ах) = (1/4)(5 + 10 + 18 + 25) = 14 500,

М{аг) = (1/4)(8 + 7 + 12 + 23) = 12 500 <- Оптимум,

М{а3) = (1/4)(21 + 18 + 12 + 21) = 18 000,

M{at) = (1/4)(30 + 22 + 19 + 15) = 21 500.