Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 [ 187 ] 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292

14.4.1. Оптимальное решение игры двух лиц с нулевой суммой

Поскольку игры берут свое начало в конфликте интересов, оптимальным решением игры является одна или несколько таких стратегий для каждого из игроков, при этом любое отклонение от данных стратегий не улучшает плату тому или другому игроку. Эти решения могут быть в виде единственной чистой стратегии или нескольких стратегий, которые являются смешанными в соответствии с заданными вероятностями. Рассматриваемые ниже примеры демонстрируют перечисленные ситуации.

Пример 14.4.1

Две компании А и В продают два вида лекарств против гриппа. Компания А рекламирует продукцию на радио (Ах), телевидении (А2) и в газетах (А3). Компания В, в дополнение к использованию радио (В,), телевидения (В2) и газет (В,), рассылает также по почте брошюры (54). В зависимости от умения и интенсивности проведения рекламной кампании, каждая из компаний может привлечь на свою сторону часть клиентов конкурирующей компании. Приведенная ниже матрица характеризует процент клиентов, привлеченных или потерянных компанией А.

Максимумы столбцов

Минимумы строк

5 максимин

минимакс

Решение игры основано на обеспечении наилучшего результата из наихудших для каждого игрока. Если компания А выбирает стратегию Ах, то, независимо от того, что предпринимает компания В, наихудшим результатом является потеря компанией А 3 % рынка в пользу компании В. Это определяется минимумом элементов первой строки матрицы платежей. Аналогично при выборе стратегии А2 наихудшим исходом для компании А является увеличение рынка на 5 % за счет компании В. Наконец, наихудшим исходом при выборе стратегии А3 является потеря компанией А 9 % рынка в пользу компании В. Эти результаты содержатся в столбце Минимумы строк . Чтобы достичь наилучшего результата из наихудших, компания А выбирает стратегию А2, так как она соответствует наибольшему элементу столбца Минимумы строк .

Рассмотрим теперь стратегии компании В. Так как элементы матрицы являются платежами компании А, критерий наилучшего результата из наихудших для компании В соответствует выбору минимаксного значения. В результате приходим к выводу, что выбором компании В является стратегия В2.

Оптимальным решением в игре является выбор стратегий А2 и В2, т.е. обеим компаниям следует проводить рекламу на телевидении. При этом выигрыш будет в пользу компании А, так как ее рынок увеличится на 5 %. В этом случае говорят, что цена игры равна 5 % и что компании А и В используют стратегии, соответствующие седловой точке.



Решение, соответствующее седловой точке, гарантирует, что ни одной компании нет смысла пытаться выбрать другую стратегию. Действительно, если компания В переходит к другой стратегии (/? В3 или Bt), то компания А может сохранить свой выбор стратегии Аг, что приведет к большей потере рынка компанией В (6 или 8 %). По тем же причинам компании А нет резона использовать другую стратегию, ибо если она применит, например, стратегию А3, то компания В может использовать свою стратегию В3 и увеличить свой рынок на 9 % . Аналогичные выводы имеют место, если компания А будет использовать стратегию Ах.

Оптимальное решение игры, соответствующее седловой точке, не обязательно должно характеризоваться чистыми стратегиями. Вместо этого оптимальное решение может требовать смешивания случайным образом двух или более стратегий, как это сделано в следующем примере.

Пример 14.4.2

Два игрока А и В играют в игру, основанную на подбрасывании монеты. Игроки одновременно и независимо друг от друга выбирают герб (Г) или решку (Р). Если результаты двух подбрасываний монеты совпадают (т.е. ГГ или РР), то игрок А получает один доллар от игрока В. Иначе игрок А платит один доллар игроку В.

Следующая матрица платежей игроку А показывает величины минимальных элементов строк и максимальных элементов столбцов, соответствующих стратегиям обоих игроков.

Минимумы строк

Максимумы столбцов

Максиминная и минимаксная величины (цены) для этой игры равны -1 долл. и 1 долл. соответственно. Так как эти величины не равны между собой, игра не имеет решения в чистых стратегиях. В частности, если игрок А использует стратегию Аг, игрок В выберет стратегию Вр, чтобы получить от игрока А один доллар. Если это случится, игрок А может перейти к стратегии Ар, чтобы изменить исход игры и получить один доллар от игрока В. Постоянное искушение каждого игрока перейти к другой стратегии указывает на то, что решение в виде чистой стратегии неприемлемо. Вместо этого оба игрока должны использовать надлежащую случайную комбинацию своих стратегий. В рассматриваемом примере оптимальное значение цены игры находится где-то между максиминной и минимаксной ценами для этой игры:

максиминная (нижняя) цена < цена игры < минимаксная (верхняя) цена.

Следовательно, в данном случае цена игры должна лежать в интервале [-1,1], измеряемом в долларах.



УПРАЖНЕНИЯ 14.4.1

1. Определите решение, определяемое седловой точкой, соответствующие чистые стратегии и цену игры для следующих игр, в которых платежи заданы для игрока А.

2. В следующих играх заданы платежи игроку А. Укажите область значений для параметров р и q, при которых пара (2, 2) будет седловой точкой в каждой игре.

Bi Вг Вз

<7

3. Укажите область, которой принадлежит цена игры в каждом из следующих случаев, предполагая, что платежи заданы для игрока А.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 [ 187 ] 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292