4. Две фирмы производят два конкурирующих товара. Каждый товар в настоящее время контролирует 50 % рынка. Улучшив качество товаров, обе фирмы собираются развернуть рекламные кампании. Если они не будут этого делать, то существующее состояние рынка не изменится. Однако если какая-либо фирма будет более активно рекламировать свои товары, то другая фирма потеряет соответствующий процент своих потребителей. Исследование рынка показывает, что 50 % потенциальных потребителей получают информацию посредством телевидения, 30 % - через газеты и 20 % - по радио.

a) Сформулируйте задачу в виде игры двух лиц с нулевой суммой и выберите подходящие средства рекламы для каждой фирмы.

b) Укажите интервал значений, которому принадлежит цена игры. Может ли каждая фирма действовать с единственной чистой стратегией?

5. Пусть atj - (г, /)-й элемент платежной матрицы с т стратегиями игрока А и л стратегиями игрока В. Элементы платежной матрицы представляют собой платежи игроку А. Докажите, что

max min а < min max а .

14.4.2. Решение матричных игр в смешанных стратегиях

Решение матричных игр в смешанных стратегиях может быть найдено либо графически, либо методами линейного программирования. Графический метод применим для решения игр, в которых хоть один игрок имеет две чистые стратегии. Этот метод интересен в том плане, что графически объясняет понятие седловой точки. Методами линейного программирования может быть решена любая игра двух лиц с нулевой суммой.

Графическое решение игр. Рассмотрим игру 2 х п, в которой игрок А имеет две стратегии.

Игра предполагает, что игрок А смешивает стратегии Атл А2с соответствующими вероятностями я, и 1 - я 0 < 1. Игрок В смешивает стратегии Blt В2, Вп с вероятностями ух, у2, уп, где i/.>0, ;= 1, 2, п, и I/, + у2 + ... + (/ = 1. В этом случае ожидаемый выигрыш игрока А, соответствующий j-й чистой стратегии игрока В, вычисляется в виде

(aXj - a2j) хх - a2j, у =1,2.....п.

Следовательно, игрок А ищет величину хх, которая максимизирует минимум ожидаемых выигрышей

max min j(a,y -a2j)xl

Пример 14.4.3

Рассмотрим следующую игру 2x4, в которой платежи выплачиваются игроку Л.

В\ Вг Вз 64

2 2 3 -1

4 3 2 6

Игра не имеет решения в чистых стратегиях, и, следовательно, стратегии должны быть смешанными. Ожидаемые выигрыши игрока А, соответствующие чистым стратегиям игрока В, приведены в следующей таблице.

На рис. 14.9 изображены четыре прямые линии, соответствующие чистым стратегиям игрока В. Чтобы определить наилучший результат из наихудших, построена нижняя огибающая четырех указанных прямых (изображенная на рисунке толстыми линейными сегментами), которая представляет минимальный (наихудший) выигрыш для игрока А независимо от того, что делает игрок В. Максимум (наилучшее) нижней огибающей соответствует максиминному решению в точке х\ - 0,5 . Эта точка

определяется пересечением прямых 3 и 4. Следовательно, оптимальным решением для игрока А является смешивание стратегий Ах и А2 с вероятностями 0,5 и 0,5 соответственно. Соответствующая цена игры v определяется подстановкой х, = 0,5 в уравнение либо прямой 3, либо 4, что приводит к следующему.

- + 2 = - из уравнения прямой 3, -7 + 6 = -- из уравнения прямой 4.

Рис. 14.9. Графическое решение игры двух лиц с нулевой суммой из примера 14.4.3

Оптимальная смешанная стратегия игрока В определяется двумя стратегиями, которые формируют нижнюю огибающую графика. Это значит, что игрок В может смешивать стратегии В3 и В4, в этом случае у, =у2 = О и у4 = 1 - у3. Следовательно, ожидаемые платежи игрока В, соответствующие чистым стратегиям игрока А, имеют такой вид.

Чистые стратегии игрока А Ожидаемые платежи игрока В

1 4у3 - 1

2 -4у3 + 6

Наилучшее решение из наихудших для игрока В представляет собой точку минимума верхней огибающей заданных двух прямых (построение прямых и определение верхней огибающей будет для вас поучительным). Эта процедура эквивалентна решению уравнения

4>3-1 = -4у3 + 6.

Его решением будету3 = 7/8, что определяет цену игры v = 4 х (7/8) - 1 = 5/2.

Таким образом, решением игры для игрока А является смешивание стратегий Л, иА2 с равными вероятностями 0,5 и 0,5, а для игрока В - смешивание стратегий Вг и й, с вероятностями 7/8 и 1/8. (В действительности игра имеет альтернативное решение для игрока В, так как максиминная точка на рис. 14.9 определяется более чем двумя прямыми. Любая выпуклая линейная комбинация этих альтернативных решений также является решением задачи.)